数值分析实验：线性方程组基本迭代法详解与Matlab实现

实验报告主要针对的是数值分析中的一个重要主题——线性方程组的基本迭代法。该实验的目的包括深入理解并掌握Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法和SOR（Successive Overrelaxation）迭代法，以及提升程序设计能力。实验内容要求学生利用Matlab编程语言来实现这三种迭代法，并通过具体的实例来验证它们的收敛性和性能。 首先，实验涉及到了以下三个迭代方法： 1. **雅克比迭代法（Jacobi Iteration）**：这种方法基于矩阵的对角元素，迭代公式为 \( x^{(k+1)} = D^{-1} (L + U)x^{(k)} - D^{-1} b \)，其中 \( L \) 和 \( U \) 分别是下三角和上三角部分，\( D \) 是对角矩阵。通过迭代更新，逐步逼近方程组的解。 2. **高斯-塞德尔迭代法（Gauss-Seidel Iteration）**：相较于雅克比迭代，高斯-塞德尔法在每个迭代步骤中都会更新所有变量，而非仅限于对角元素。其迭代公式为 \( x^{(k+1)}_i = \frac{1}{a_{ii}} (b_i - \sum_{j=1}^{i-1} a_{ij} x^{(k+1)}_j - \sum_{j=i+1}^n a_{ij} x^{(k)}_j) \)。 3. **松弛因子迭代法（Semi-Orthogonalized Relaxation，SOR）**：这是一种改进版的迭代法，通过引入松弛因子 \( \omega \) 来调整迭代过程的速度，通常可以加速收敛。SOR迭代公式为 \( x^{(k+1)} = (\omega D + (1-\omega) A)^{-1} b \)。 实验的具体要求包括： - 描述这三种迭代法的算法流程和特点。 - 编写Matlab代码实现这三种迭代法，用于求解给定的五对角矩阵 \( A \) 的线性方程组。 - 使用不同的初始向量 \( x^{(0)} \) 和右端向量 \( b \)，设定迭代误差要求，观察Jacobi和Gauss-Seidel迭代法的收敛情况，分析迭代次数和结果。 - 对于SOR迭代法，应用到同样的初始向量和右端向量，调整松弛因子 \( \omega \)，观察其对收敛速度的影响。 实验步骤包括理论描述和编程实践，强调了从理论到实际操作的过程，通过实际运行这些迭代算法，学习如何评估和选择最适合特定问题的迭代方法。同时，通过对迭代结果的分析，学生能够更好地理解每种迭代法在实际问题中的优势和局限性。