算法设计：合并排序与找最长等差数列

"大连理工大学算法设计课程2011届研究生期末考试题，涉及第四章内容，主要包含两个算法问题，一个是合并已排序子数组，另一个是寻找输入元素中的最长等差数列。" 详细解释： 1. 合并已排序子数组： 在这个问题中，我们有两个已排序的子数组a[0:k-1]和a[k:n-1]，目标是合并它们成一个整体的排好序的数组a[0:n-1]，同时仅使用一个额外的存储空间。这是一个经典的归并排序中的合并操作。基本步骤如下： - 初始化两个指针，一个指向a[0:k-1]的末尾，另一个指向a[k:n-1]的开头。 - 比较两个指针所指向的元素，选择较小的元素放入额外的存储空间，并移动相应的指针。 - 重复上述过程，直到一个子数组为空，然后将另一个子数组的剩余部分直接复制到结果数组。 - 算法的时间复杂度是O(n)，空间复杂度是O(1)，因为只需要一个额外的空间来暂存当前合并的元素。 2. 寻找最长等差数列： 这个问题是寻找输入的n个元素中构成的最长等差数列。首先，我们需要定义三元组(i, j, d)，其中i和j是元素的标号（i < j），d是元素j和i之间的差。然后，我们可以按以下步骤进行： - 对输入元素进行升序排序。 - 构造所有可能的三元组，并按照d值升序排序，对于相同d值的三元组，再按照i和j的值升序排序。 - 使用基数排序进行排序，因为d、i、j的取值范围已知，可以通过多轮比较完成。 - 遍历排序后的三元组数组，对于每个相同的公差d，找到最长的等差数列。 - 通过维护一个e_start和e_end，表示相同公差三元组的起始和结束位置。 - 遍历过程中，检查相邻三元组是否满足等差关系，若是，则更新e_end；否则，对当前公差d的三元组寻找最长链。 - 寻找最长链的过程使用next[]和label[]数组，标记元素的链接关系和访问状态，以避免重复计算。 最后，最长等差数列的长度和元素会被记录在变量max和result中。这个算法的时间复杂度主要取决于排序和遍历，假设基数排序时间复杂度为O(n)，总的时间复杂度大约为O(n log n)。空间复杂度取决于排序过程，如果使用基数排序，则空间复杂度为O(n)。 以上就是针对大连理工大学算法设计课程期末考试题第四章中的两道题目的详细解答。这些问题涉及了排序、查找和数据结构的基本概念，是算法设计中的核心问题。