北京大学ACM线段树与树状数组讲解

"线段树和树状数组是数据结构中用于高效处理区间或段上问题的两种重要工具，尤其在算法竞赛如ACM/ICPC中广泛应用。线段树是一种特殊的二叉树，用于处理区间更新和查询的问题，而树状数组(Cumulative Frequency Table, CFT)则是另一种高效的数据结构，主要解决区间求和与单点修改的问题。" 线段树（Interval Tree） 线段树是一种数据结构，它的每个节点代表一个区间，由一系列不相交的区间构成。线段树通常用于处理区间上的查询和更新操作，例如求区间内的最大值、最小值或者累加和等。线段树的构建方式遵循以下特性： 1. **节点对应区间**：每个非叶节点代表一个区间，叶节点代表长度为1的单位区间。 2. **二分构造**：每个非叶节点的两个子节点分别代表左半部分和右半部分的区间，即[a, (a+b)/2] 和 [(a+b)/2+1, b]，其中a和b是父节点区间的边界。 3. **深度与区间长度**：根节点的深度是log2(b-a+1)+1（向上取整），反映了区间长度的信息。 4. **完全二叉性质**：线段树的所有节点要么是叶子节点（度为0），要么有两个子节点（度为2）。如果叶节点数目为N，线段树总共有2N-1个节点。 区间[1,9]的线段树示例展示了线段树的构造过程，每个节点的区间表示以及如何通过二分的方式构建出一棵覆盖给定区间的树。 线段树的操作： - **区间更新**：可以在线段树上对一个区间进行修改，例如将区间内的所有元素加一个常数，通过自底向上地更新受影响的节点来完成。 - **区间查询**：可以查询一个区间内的某些信息，如最大值、最小值或累加和，通过自顶向下的遍历来实现。 树状数组（Cumulative Frequency Table, CFT） 树状数组，又称斐波那契堆，是一种用于高效求解区间求和问题的数据结构。它以数组为基础，通过维护数组的前缀和信息，可以在O(log N)的时间复杂度内完成单点修改和区间求和。 1. **数组基础**：树状数组通常是一个数组，数组中的每个元素存储了以该位置为结束位置的区间的累积信息。 2. **快速更新**：当需要修改数组中的一个元素时，可以通过一系列的区间加减操作更新树状数组，以保持前缀和的正确性。 3. **高效查询**：查询一个区间内的累积信息，可以通过几个单点查询操作得到，时间复杂度同样为O(log N)。 在ACM/ICPC竞赛训练中，理解和掌握线段树和树状数组是非常关键的，因为它们可以高效地处理大量区间操作的问题，是解决许多算法题目的有效手段。通过深入学习和实践，可以提升算法能力，提高解决实际问题的效率。