自动机理论课后习题解答：2.2节状态与转移分析

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自动机理论、语言和计算导论是一门深入探讨计算模型、语言结构及其关系的课程。本篇内容聚焦于课后的习题答案，特别是第2.2节的部分题目。该节涉及的是有穷自动机的概念，这是一种用于识别特定语言的数学模型。在这里，我们看到的问题是设计一个自动机来表示一种状态转换规则，其中包含八个不同的开关位置组合，并考虑前一个输入球（假设是大理石）是否从指定出口D滚出（即是否接受输入）。在该问题中，每个状态由三个二进制位表示，0代表向左，1代表向右。初始状态为000r，表示所有开关都在最左边。总共有16种可能的状态，但并非所有都是可达的，实际只有13种可以从初始状态出发。这些状态通过输入字母'a'表示接受，'r'表示拒绝。转移表列出了对于输入'A'和'B'，各个状态如何转移到新的状态。例如，当状态为000且接受前一个输入时，如果接收到'A'，则自动机会转移到状态100；而接收到'B'则保持不变，因为没有特别的规定。类似地，其他状态转移规则也根据输入和当前状态进行更新。这种转移表对于理解有限状态机如何根据输入序列决定是否接受至关重要，它是计算理论中研究语言和机器行为的基础。通过解答此类习题，学生可以深化对自动机理论的理解，包括确定性自动机（DFA）、非确定性自动机（NFA）以及它们与正规语言的关系。这些概念在计算机科学中广泛应用于编译器设计、算法分析、形式语言理论等领域。解决这类问题有助于锻炼逻辑思维和编程实践能力，对于从事IT行业的学生来说是一项重要的技能提升。

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利用定理 3。7 每个用正则表达式来定义的语言也可用穷自动机来定义

Exercise 3.2.6(a)

(Revised 修改 1/16/02) LL* or L

Exercise 3.2.6(b)

The set of suffixes of strings in L. (以)L 中串(作为)后缀/下标的集合。

Exercise 3.2.8

Let R

(k)

ijm

be the number of paths from state i to state j of length m that go through no

state numbered higher than k. We can compute these numbers, for all states i and j,

and for m no greater than n, by induction on k.

令 R

(k)

ijm

为从状态 i 到状态 j，长度为 m，且没有经过编号大于 k 的路径的个数。

对于所有状态 I 和 j，以及 m（m≤n），通过对 k 归纳来计算这个个数。

Basis: R

ij1

is the number of arcs (or more precisely, arc labels) from state i to state j.

ii0

= 1, and all other R

ijm

's are 0.

基础: k=0，R

ij1

是由状态 i 到状态 j 的箭弧（更准确的说，是箭弧标号）的个数。

ii0

= 1,其他的 R

ijm

's 都为 0。

Induction: R

(k)

ijm

is the sum of R

(k-1)

ijm

and the sum over all lists (p1,p2,...,pr) of

positive integers that sum to m, of R

(k-1)

ikp1

* R

(k-1)

kkp2

(k-1)

kkp3

*...* R

(k-1)

kkp(r-1)

* R

(k-1)

kjpr

Note r must be at least 2.

归纳: R

(k)

ijm

是 R

(k-1)

ijm

的和，R

(k-1)

ikp1

* R

(k-1)

kkp2

(k-1)

kkp3

*...* R

(k-1)

kkp(r-1)

* R

(k-1)

kjpr

。

(p1,p2,...,pr)是所有和为 m 的正整数序列，r 大于等于 2。

The answer is the sum of R

(k)

1jn

, where k is the number of states, 1 is the start state,

and j is any accepting state.

答案就是 R

(k)

1jn

的总和，其中 k 是状态个数，1 为开始状态，j 是任意接受状态。

Solutions for Section 3.4

Exercise 3.4.1(a)

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Replace R by {a} and S by {b}. Then the left and right sides become {a} union {b} =

{b} union {a}. That is, {a,b} = {b,a}. Since order is irrelevant in sets, both languages

are the same: the language consisting of the strings a and b.

将 R 替换为{a} ，S 替换为{b}。等式变为{a} + {b} = {b} + {a}. 也就是 {a,b} =

{b,a}. 因为集合中元素的顺序是无关紧要的，所以，等式两边是一样的：由串 a

和 b 构成的语言。

Exercise 3.4.1(f)

Replace R by {a}. The right side becomes {a}*, that is, all strings of a's, including the

empty string. The left side is ({a}*)*, that is, all strings consisting of the

concatenation of strings of a's. But that is just the set of strings of a's, and is therefore

equal to the right side.

将 R 替换为{a} 。右边变为{a}*, 代表 a 组成的所有串，包含空串。左边是

({a}*)*, 代表由 a 组成的串构成的串，也就是由 a 构成的串。当然相等。

Exercise 3.4.2(a)

Not the same. Replace R by {a} and S by {b}. The left side becomes all strings of a's

and b's (mixed), while the right side consists only of strings of a's (alone) and strings

of b's (alone). A string like ab is in the language of the left side but not the right.

不等。将 R 替换为{a} ，S 替换为{b}。左边表示所有由 a 和 b（可混合）构成

的串。而右边表示只有 a 构成的串和只有 b 构成的串。像 ab 这样的串就只属于

左边的语言，而不属于右边。

Exercise 3.4.2(c)

Also not the same. Replace R by {a} and S by {b}. The right side consists of all

strings composed of zero or more occurrences of strings of the form a...ab, that is, one

or more a's ended by one b. However, every string in the language of the left side has

to end in ab. Thus, for instance, ε is in the language on the right, but not on the left.

不等。举反例，将 R 替换为{a} ，S 替换为{b}。右边表示由 0 个或多个形如

a...ab 组成的串，也就是，一个或多个 a 后面紧跟一个结尾的 b。但是，左边的

串必须以 ab 结尾。因此，ε 属于右边的语言，但不属于左边。

Solutions for Section 4.1

Exercise 4.1.1(c)

Let n be the pumping-lemma constant (note this n is unrelated to the n that is a local

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variable in the definition of the language L). Pick w = 0

. Then when we write w =

xyz, we know that |xy| <= n, and therefore y consists of only 0's. Thus, xz, which must

be in L if L is regular, consists of fewer than n 0's, followed by a 1 and exactly n 0's.

That string is not in L, so we contradict the assumption that L is regular.

令 n 为泵引理常数（这个 n 与语言 L 的定义中的局部变量 n 无关）。设 w =

。把 w 打断为 w = xyz，满足|xy| <= n, 则 y 只由 0 构成。若 L 是正则的，

那么 xz 一定在 L 中。但 xz 由少于 n 个 0，后面跟着一个 1 和恰好 n 个 0 构成。

这个串不在 L 中。所以 L 不是正则语言。

Exercise 4.1.2(a)

Let n be the pumping-lemma constant and pick w = 0

, that is, n

0's. When we write

w = xyz, we know that y consists of between 1 and n 0's. Thus, xyyz has length

between n

+ 1 and n

+ n. Since the next perfect square after n

is (n+1)

= n

+ 2n +

1, we know that the length of xyyz lies strictly between the consecutive perfect

squares n

and (n+1)

. Thus, the length of xyyz cannot be a perfect square. But if the

language were regular, then xyyz would be in the language, which contradicts the

assumption that the language of strings of 0's whose length is a perfect square is a

regular language.

令 n 为泵引理常数，设 w = 0

,也就是 n

个 0。将 w 打断为 w = xyz。y 是由大

于 1 小于 n 个 0 组成的。因此 xyyz 的长度介于 n

+ 1 和 n

+ n 之间。n

的下一

个完全平方数是 (n+1)

= n

+ 2n + 1。因为 xyyz 的长度介于 n

和(n+1)

之间。

所以 xyyz 的长度不是完全平方数。若语言是正则的，那么 xyyz 也应该是正则

的。xyyz 的长度应该是完全平方数。矛盾。所以语言不是正则的。

Exercise 4.1.4(a)

We cannot pick w from the empty language. 我们无法从空集中找到 w ，因为 y

非空。

Exercise 4.1.4(b)

If the adversary picks n = 3, then we cannot pick a w of length at least n.

如果对手选择 n=3，那么我们无法找到长度至少为 n 的 w 。

Exercise 4.1.4(c)

The adversary can pick an n > 0, so we have to pick a nonempty w. Since w must

consist of pairs 00 and 11, the adversary can pick y to be one of those pairs. Then

whatever i we pick, xy

z will consist of pairs 00 and 11, and so belongs in the

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