随机过程与马尔科夫链分析——李泽湘

"这篇资料是关于随机过程的讲解，特别是涉及齐次马氏链和运动控制技术，并在国科大的课程中被详细讨论。" 在概率论与统计学中，随机过程是研究一系列相互关联的随机变量的重要工具，特别是在描述时间序列数据或动态系统的行为时。齐次马氏链是一种特殊类型的随机过程，它具有以下两个关键特性： 1. **齐次性**：在齐次马氏链中，转移概率不依赖于时间，即从一个状态转移到另一个状态的概率只与当前状态有关，而与时间点无关。这使得马氏链具有一定的平稳性质，便于分析系统的长期行为。 2. **马氏性**：马氏性意味着当前状态的未来演变仅依赖于当前状态，而不受过去历史的影响。换句话说，未来的状态分布仅与当前状态的转移概率有关，而与其他过去的中间状态无关。 在题目中，任务是证明给定过程为齐次马氏链，并要求写出一步转移概率矩阵以及计算仪器记录到最大值的期望时间。首先，要证明一个过程是马氏链，需要验证两个条件：(i) 状态之间的转移概率仅取决于当前状态，(ii) 这些概率与初始时间无关。一旦这两个条件满足，可以确认过程是齐次马氏链。 接着，一步转移概率矩阵表示从每个状态转移到其他状态的概率。例如，如果状态空间有n个状态，矩阵的每个元素\( P_{ij} \)表示从状态i转移到状态j的概率。构建这个矩阵的关键是从问题描述中解析出这些概率。 至于期望时间的问题，对于到达最大值的期望时间，可以利用马尔科夫链的理论来解决。在马氏链中，到达特定状态的平均时间可以通过计算每个状态的吸收时间来获得，尤其是对于有吸收状态（如本题中的最大值）的马氏链。这个时间通常涉及到矩阵运算，包括逆矩阵和矩阵的幂。 在实际应用中，如李泽湘教授所探讨的运动控制技术，这种随机过程分析有助于设计和优化控制系统，比如机器人路径规划、自动驾驶汽车的决策算法等。通过理解马氏链的性质，我们可以更好地预测和控制系统的未来行为，减少不确定性带来的影响。 总结来说，随机过程，尤其是齐次马氏链，是理解和建模动态系统的关键工具。在国科大的课程中，这样的深入讲解对于学生掌握这一领域至关重要，也为他们在实际工程问题中应用这些概念提供了坚实的基础。