李泽湘讲解：Poission过程——运动控制中的关键计数技术

本文档深入探讨了Poisson过程，这是一种重要的计数过程，在运动控制技术和随机过程领域具有广泛的应用。Poisson过程由法国数学家Poisson在1837年首次提出，它的核心特性包括： 1. **计数过程**：一个计数过程是指在一定时间区间[0, t]内，随机事件A发生的次数组成的随机变量序列{N(t)}，满足N(t)始终非负，且在任何不相交的时间段内事件出现的次数相互独立。 2. **独立增量计数过程**：如果事件在不同时刻发生的次数独立，那么这个计数过程被称为独立增量计数过程。这意味着每个时间点的事件数量与之前的事件没有关联。 3. **平稳增量计数过程**：如果事件的数量仅依赖于时间间隔s，而不受具体起始时间t的影响，那么它是平稳增量计数过程。这种性质使得过程在不同时间段内的统计特性保持一致。 4. **Poisson过程的定义**：Poisson过程是一种特殊的计数过程，它具有三个基本属性：在t=0时事件发生次数为常数N，事件在时间上的增加是独立且等概率的，以及增量的平均值和方差相等，这体现了Poisson过程的平稳性和独立性。 5. **随机过程的概述**：随机过程是概率论中的一个重要概念，它扩展了单个随机变量的研究，研究的是随时间变化的一族随机变量。随机过程通过参数T（如时间或空间）进行描述，可以用映射的形式表达，其状态空间S包含了所有可能的状态，例如抛硬币和更复杂的随机系统。 文档提供了两个实例来帮助理解随机过程的概念：一个抛硬币的例子展示了如何定义随机过程和状态空间，另一个可能是更具复杂性的例子，但具体细节未给出。在实际应用中，Poisson过程在诸如电信网络中的呼叫计数、工业生产中的故障次数预测、物理学中的粒子计数等场景中发挥关键作用，因其简单而精确的统计特性。掌握Poisson过程有助于理解许多动态系统的随机行为和预测。