已知 {Nt}t>o 是速率为 入的 Poisson 过程,试求 E(T4|N2=1)(其中 Tn为事件第 n 次发生的时刻)

首先，根据泊松过程的定义可知，Nt的增量服从参数为入的泊松分布，即Nt-Ns ~ Poisson(入*(t-s))，其中0<=s<t。

因此，根据条件期望的定义，有：

E(T4|N2=1) = ∫∫∫∫T4*f(T4|N2=1)*f(N2=1)dT1dT2dT3dT4 / ∫∫f(N2=1)dT1dT2

其中，f(T4|N2=1)表示在N2=1的条件下T4的概率密度函数，f(N2=1)表示N2=1的概率密度函数。

根据泊松过程的性质可知，事件的发生时间间隔服从指数分布，即Tn-Tn-1 ~ Exp(入)，因此有：

f(T4|N2=1) = (1/入)*exp(-(T4-T2)/入) ，其中T2表示第二次事件发生的时刻。

f(N2=1) = 入*exp(-入*T2)

代入上式，有：

E(T4|N2=1) = ∫∫∫∫T4*(1/入)*exp(-(T4-T2)/入)*入*exp(-入*T2)dT1dT2dT3dT4 / ∫∫入*exp(-入*T2)dT1dT2

化简可得：

E(T4|N2=1) = T2 + 3/入

因此，E(T4|N2=1) = T2 + 3/入。

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已知 {Nt}t>o 是速率为 入的 Poisson 过程,试求(1)(4分)P{N2=1,N3=3}(2)(4分) E(N2|N;=3); (3)(4分) E(N₂N3) ; (4)(3分) E(T|N2=1)(其中 Tn为事件第 n 次发生的时刻)

好的，我会根据您的问题进行回答，不会透露您的任何要求。针对您的问题，我分别进行回答如下：

(1)P{N2=1,N3=3}:
由于 {Nt}t>o 是速率为 入的 Poisson 过程，因此在时间段 [0,2] 中，事件发生的次数为 Poisson 分布，其概率为 P{N2=1}=e^(-λ) λ^1/1!=λe^(-λ)。在时间段 [2,3] 中，事件发生的次数为 Poisson 分布，其概率为 P{N3-N2=2}=e^(-λ) λ^2/2!=λ^2/2 e^(-λ)。因此，P{N2=1,N3=3}=P{N2=1}×P{N3-N2=2}=λe^(-λ) × λ^2/2 e^(-λ)=(1/2)λ^3e^(-2λ)。

(2)E(N2|N1=3):
由于 {Nt}t>o 是速率为 入的 Poisson 过程，因此在时间段 [0,1] 中，事件发生的次数为 Poisson 分布，其概率为 P{N1=3}=e^(-λ) λ^3/3!=λ^3/6 e^(-λ)。在时间段 [1,2] 中，事件发生的次数为 Poisson 分布，其概率为 P{N2-N1=1}|N1=3=e^(-λ) λ^1/1!=λ e^(-λ)。因此，对于给定的 N1=3，有 E(N2|N1=3)=N1+λ/μ=3+λ/μ。

(3)E(N2N3):
由于 {Nt}t>o 是速率为 入的 Poisson 过程，因此在时间段 [0,2] 中，事件发生的次数为 Poisson 分布，其概率为 P{N2=2}=e^(-λ) λ^2/2!=λ^2/2 e^(-λ)。在时间段 [2,3] 中，事件发生的次数为 Poisson 分布，其概率为 P{N3-N2=1}=e^(-λ) λ^1/1!=λ e^(-λ)。因此，E(N2N3)=E(N2)×E(N3-N2)=λ×(λ/μ)=λ^2/μ。

(4)E(T|N2=1):
由于 {Nt}t>o 是速率为 入的 Poisson 过程，因此事件发生的时间间隔服从指数分布。因此，对于给定的 N2=1，T2 与 N1、N2+N3、...、Nk (其中 Nk≥3) 相互独立，且 T2、T3、...、Tk 服从参数为 λ 的指数分布。因此，E(T|N2=1)=1/λ。

7.令{Nt}t≥0 是速率为λ的Poisson过程.对于s < t,求 (1)P{Nt >Ns}; (2)P{Ns =0, Nt =3}; (3) E(Nt|Ns = 2) ; (4) E(Ns|Nt = 2).

好的，让我来回答你的问题：

(1) P{Nt > Ns} = 1 - P{Nt ≤ Ns} = 1 - P{Nt - Ns ≤ 0} = 1 - F(Ns, t-s), 其中 F(a,b) 表示参数为 a 和 b 的 Poisson 分布的累积分布函数。

(2) P{Ns = 0, Nt = 3} = P{Nt = 3} × P{Ns = 0, Nt - Ns = 3} = e^(-λt) × P{Nt - Ns = 3} = e^(-λt) × (λs)^0/0! × (λ(t-s))^3/3! × e^(-λ(t-s)) = e^(-λt) × (λ(t-s))^3/6。

(3) E(Nt|Ns = 2) = Ns + E(Nt - Ns|Ns = 2) = 2 + E(Nt - Ns) = 2 + λ(t-s)。

(4) E(Ns|Nt = 2) = E(Ns(Nt)|Nt = 2) / P{Nt = 2} = E(Ns × 2) / P{Nt = 2} = 2λs / e^(-λt) × (λt)^2/2! = λs/λt。