7.令{Nt}t≥0 是速率为λ的Poisson过程.对于s < t,求 (1)P{Nt >Ns}; (2)P{Ns =0, Nt =3}; (3) E(Nt|Ns = 2) ; (4) E(Ns|Nt = 2).

好的，让我来回答你的问题：

(1) P{Nt > Ns} = 1 - P{Nt ≤ Ns} = 1 - P{Nt - Ns ≤ 0} = 1 - F(Ns, t-s), 其中 F(a,b) 表示参数为 a 和 b 的 Poisson 分布的累积分布函数。

(2) P{Ns = 0, Nt = 3} = P{Nt = 3} × P{Ns = 0, Nt - Ns = 3} = e^(-λt) × P{Nt - Ns = 3} = e^(-λt) × (λs)^0/0! × (λ(t-s))^3/3! × e^(-λ(t-s)) = e^(-λt) × (λ(t-s))^3/6。

(3) E(Nt|Ns = 2) = Ns + E(Nt - Ns|Ns = 2) = 2 + E(Nt - Ns) = 2 + λ(t-s)。

(4) E(Ns|Nt = 2) = E(Ns(Nt)|Nt = 2) / P{Nt = 2} = E(Ns × 2) / P{Nt = 2} = 2λs / e^(-λt) × (λt)^2/2! = λs/λt。

相关问题

已知 {Nt}t>o 是速率为 入的 Poisson 过程,试求 E(T4|N2=1)(其中 Tn为事件第 n 次发生的时刻)

首先，根据泊松过程的定义可知，Nt的增量服从参数为入的泊松分布，即Nt-Ns ~ Poisson(入*(t-s))，其中0<=s<t。

因此，根据条件期望的定义，有：

E(T4|N2=1) = ∫∫∫∫T4*f(T4|N2=1)*f(N2=1)dT1dT2dT3dT4 / ∫∫f(N2=1)dT1dT2

其中，f(T4|N2=1)表示在N2=1的条件下T4的概率密度函数，f(N2=1)表示N2=1的概率密度函数。

根据泊松过程的性质可知，事件的发生时间间隔服从指数分布，即Tn-Tn-1 ~ Exp(入)，因此有：

f(T4|N2=1) = (1/入)*exp(-(T4-T2)/入) ，其中T2表示第二次事件发生的时刻。

f(N2=1) = 入*exp(-入*T2)

代入上式，有：

E(T4|N2=1) = ∫∫∫∫T4*(1/入)*exp(-(T4-T2)/入)*入*exp(-入*T2)dT1dT2dT3dT4 / ∫∫入*exp(-入*T2)dT1dT2

化简可得：

E(T4|N2=1) = T2 + 3/入

因此，E(T4|N2=1) = T2 + 3/入。

假设Poisson过程的强度函数为 λ(t)=t/5,0<t<5, λ(t)=1+5*(t-5),5<t<10. 用R语言模拟此 Poisson过程在10个单位时间前发生的各个事件的时间．

在R语言中，我们可以使用`rexp()`函数来模拟泊松过程。这个函数生成的是指数分布的时间间隔，然后我们可以根据给定的强度函数`lambda(t)`来调整这些时间间隔。这里，我们需要分段处理`lambda(t)`，因为它是分段定义的。

首先，我们需要两个部分：当0到5秒时和5到10秒时的泊松过程。对于0到5秒，我们使用`lambda(t) = t/5`，而对于5到10秒，我们使用`lambda(t) = 1 + 5*(t-5)`。

# 定义泊松过程强度函数
lambda_func <- function(t) {
  if (t < 5) {
    t / 5
  } else if (t >= 5 & t < 10) {
    1 + 5 * (t - 5)
  }
}

# 分别计算每个时间段的泊松过程
events_first_segment <- rexp(n = 10, rate = lambda_func(5)) # 从0到5秒
events_second_segment <- rexp(n = 10, rate = lambda_func(10)) # 从5到10秒

# 合并两个时间段的结果，并排序
all_events <- c(events_first_segment, events_second_segment)
sorted_events <- sort(all_events)

# 输出结果
sorted_events

在这个代码片段中，`n=10`表示我们要模拟10次事件发生的时间。`sorted_events`将显示这10个事件按照实际发生的顺序排列的时间点。