出一题poisson过程试题，附带详细解答

题目：

设 $\{N(t), t \geq 0\}$ 是速率为 $\lambda$ 的泊松过程，即 $N(t)$ 表示在 $[0,t]$ 时间内发生的事件个数，且满足以下条件：

1. $N(0) = 0$；
2. 独立增量性：对于任意 $0 \leq s < t$，随机变量 $N(t) - N(s)$ 与 $\{N(u), u \leq s\}$ 独立；
3. 稳定增量性：对于任意 $0 \leq s < t$，随机变量 $N(t) - N(s)$ 的分布与 $\{N(u), u \leq s\}$ 经过平移后的分布相同。

试回答以下问题：

1. 求 $N(t)$ 的分布；
2. 求 $\mathbb{E}[N(t)]$ 和 $\mathrm{Var}[N(t)]$；
3. 求 $N(t)$ 的瞬时分布。

解答：

1. $N(t)$ 的分布为泊松分布，即 $N(t) \sim \mathrm{Poisson}(\lambda t)$。

证明：

由于 $\{N(t), t \geq 0\}$ 是泊松过程，所以满足以下两个条件：

（1）单位时间内发生事件的概率是 $\lambda$，即 $\mathbb{P}\{N(1) = 1\} = \lambda$；
（2）单位时间内不发生事件的概率是 $1 - \lambda$，即 $\mathbb{P}\{N(1) = 0\} = 1 - \lambda$。

因此，对于任意 $t > 0$，$N(t)$ 表示在 $[0,t]$ 时间内发生的事件个数，其分布为：

$$
\mathbb{P}\{N(t) = k\} = \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots
$$

即 $N(t) \sim \mathrm{Poisson}(\lambda t)$。

2. 根据泊松分布的定义和性质，可以得到：

$$
\mathbb{E}[N(t)] = \lambda t, \quad \mathrm{Var}[N(t)] = \lambda t.
$$

证明：

根据泊松分布的定义和期望的线性性，可以得到：

$$
\begin{aligned}
\mathbb{E}[N(t)] &= \sum_{k=0}^\infty k \cdot \mathbb{P}\{N(t) = k\} \\
&= \sum_{k=0}^\infty k \cdot \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!} \\
&= \lambda t \cdot \sum_{k=1}^\infty \frac{(\lambda t)^{k-1} e^{-\lambda t}}{(k-1)!} \\
&= \lambda t \cdot e^{-\lambda t} \cdot \sum_{n=0}^\infty \frac{(\lambda t)^n}{n!} \\
&= \lambda t.
\end{aligned}
$$

根据泊松分布的方差公式和期望的平方公式，可以得到：

$$
\begin{aligned}
\mathrm{Var}[N(t)] &= \mathbb{E}[N(t)^2] - (\mathbb{E}[N(t)])^2 \\
&= \sum_{k=0}^\infty k^2 \cdot \mathbb{P}\{N(t) = k\} - (\lambda t)^2 \\
&= \sum_{k=0}^\infty k \cdot \mathbb{P}\{N(t) = k\} + \sum_{k=0}^\infty k(k-1) \cdot \mathbb{P}\{N(t) = k\} - (\lambda t)^2 \\
&= \lambda t + \lambda^2 t^2 - (\lambda t)^2 \\
&= \lambda t.
\end{aligned}
$$

3. $N(t)$ 的瞬时分布为：

$$
\mathbb{P}\{N(t+dt) - N(t) = k\} = \frac{(\lambda dt)^k e^{-\lambda dt}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots
$$

证明：

由于 $\{N(t), t \geq 0\}$ 是泊松过程，所以满足独立增量性和稳定增量性，即：

（1）对于任意 $0 \leq s < t$，随机变量 $N(t) - N(s)$ 与 $\{N(u), u \leq s\}$ 独立；
（2）对于任意 $0 \leq s < t$，随机变量 $N(t) - N(s)$ 的分布与 $\{N(u), u \leq s\}$ 经过平移后的分布相同。

因此，可以将 $[t,t+dt]$ 时间内发生的事件个数 $N(t+dt) - N(t)$ 看作是在 $[0,dt]$ 时间内发生的事件个数，且独立于 $\{N(u), u \leq t\}$。由于单位时间内发生事件的概率是 $\lambda$，所以 $[t,t+dt]$ 时间内发生 $k$ 个事件的概率为：

$$
\mathbb{P}\{N(t+dt) - N(t) = k\} = \frac{(\lambda dt)^k e^{-\lambda dt}}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots
$$