概率论与数理统计期末考试习题回顾与解题技巧

本题是关于概率论与数理统计的期末考试试卷题目，涵盖了多个关键知识点。首先，我们来看选择题部分： 1. 问题1要求计算两个独立随机变量 Xi (i=1,2) 符合泊松分布 \( Poisson(\frac{1}{4}) \) 的情况下，当它们相等的概率。由于 Xi 的期望值为 \( E(X_i) = \frac{1}{4} \)，泊松分布的性质表明 Xi 取特定值的概率仅取决于该值与期望值的关系。由于 Xi 的期望值相同且概率分布相同，当两个变量都取0时概率最大，而它们同时取非0值的概率较小。因此，当概率 {Xi1= Xi2 = 0} 为1时，概率 {Xi1= Xi2} 最大，答案为(D)1。 2. 第二题涉及正态分布的线性组合。两个独立的随机变量 X 和 Y 分别服从均值为0和1的正态分布，求和或差的分布。选项(A)表示 X+Y 的分布使得 P(X+Y ≤ 0) = 1/2，这是错误的，因为正态分布不会使得整个区间概率相等。正确答案可能是(B)或(D)，因为正态分布的均值会影响整个分布的偏移，但题目没有给出确切的数值比较，所以无法确定是X+Y≤1还是X-Y≤1的概率为1/2。 3. 题目3讨论的是随机变量协方差的性质。若 X 和 Y 的方差存在且不为0，根据线性组合的方差公式，\( D(X+Y) = D(X) + D(Y) \) 成立，这表明两者线性无关，但不足以说明独立性。因此，正确的答案是(C)不相关的充分必要条件。 4. 第4题涉及电炉温控器的故障判断逻辑。电炉断电的条件是至少有2个温控器显示的温度高于临界温度 t0。事件 E 表示电炉断电，根据定义，E 等于 {至少有两个温度大于 t0}，对应的是 (C) {𝑇𝑇(3)≥𝑡𝑡0} 或 (D) {𝑇𝑇(4)≥𝑡𝑡0}，因为最左侧的温控器可能低于临界温度。 5. 抛硬币的次数为 n 次，X 和 Y 分别代表正面向上和反面向上的次数，相关系数衡量的是两者之间线性关系的强度。由于硬币每次抛掷结果独立，X 和 Y 的相关系数为0，表示没有线性关系，答案是(B)0。 6. 最后一个题目涉及随机变量的变换。对于随机变量 X 服从 t 分布 \( t(n) \)，其中 n > 1，Y 定义为 Y = 1/X^2，这个表达式表明 Y 是 X 的倒数的平方，因此 Y 应该服从自由度为 n-1 的卡方分布，即 (B)𝑌𝑌~卡方2(n-1)。 这些题目涵盖了概率论中的泊松分布、正态分布、随机变量的线性组合、独立性和相关性的判断、以及特定分布的推导。通过解答这些问题，学生可以检验对概率统计理论的理解，包括随机变量的性质、分布及其相互作用。