动态规划：数塔与最长有序子序列的经典ACM问题解析

本资源是关于杭州电子科技大学刘春英教授的ACM程序设计课程中的一个章节，主要讲解了动态规划（Dynamic Programming）这一核心概念。动态规划是一种在计算机科学中用于优化问题求解的算法策略，通过将复杂问题分解成更小的子问题来解决，避免重复计算，从而提高效率。 首先，课程提到了一个经典的数塔问题，该问题要求找到从塔顶到塔底的最大路径价值。如果单纯使用暴力枚举方法，当数塔层数较大时，由于需要考虑所有可能的路径组合，会导致计算量极其庞大，例如在31层塔中就有2^31种可能性，这显然超出了实时解决的范围。因此，数塔问题展示了动态规划的价值，即通过自顶向下分析问题，确定最优决策，然后自底向上逐步计算结果，从而找到最佳路径。 数塔问题的关键在于，每一步的选择都依赖于下一层的最大值，这种“最优子结构”特性使得动态规划成为解决此类问题的理想工具。通过记忆化搜索或表格填充的方式，我们可以存储中间结果，避免重复计算，从而显著降低时间复杂度。 接下来，课程引入了另一个经典问题：最长有序子序列（Longest Increasing Subsequence，LIS）。在这个问题中，给定一个整数数组，要求找到其中最长的递增子序列长度。通过动态规划的策略，可以构建一个辅助数组F，记录每个位置的最长递增子序列长度，最终找到整个序列的最长子序列。例子中给出了一个具体的问题实例和期望输出，帮助学生理解和应用动态规划。 在整个过程中，学生被鼓励思考和讨论如何将动态规划应用于类似问题，如“免费馅饼”的问题以及“威威猫系列故事——打地鼠”中的速度优化。这些问题旨在锻炼学生的抽象思维能力和编程实践，让他们能够在实际比赛中灵活运用动态规划技巧。 总结来说，这个部分的课程重点在于介绍动态规划的基本原理和应用方法，通过实际问题的演示，让学生掌握如何通过自顶向下分析问题，自底向上求解，从而解决在ACM竞赛中常见的优化问题。通过这样的学习，学生不仅能够提升算法设计能力，还能在团队竞赛中发挥关键作用。