数值分析习题课（三）- 第六章二次插值截断误差控制

数值分析习题课（三）2015年春季学期助教王吴凡为学生们带来了一系列的习题总览，涵盖了第六章的15、16、17、19、20、25题，第七章的1、3、4、5、6、7、8、9、11、12、13题，以及第八章的1、2、3、4、8、11题。其中第六章的15题要求在区间−4 ≤ 𝑥 ≤ 4上给出函数𝑓(𝑥) = 𝑒^𝑥的等距节点函数表，并使用二次插值求出𝑒^𝑥的近似值，同时要求截断误差不超过10^−6，那么要求使用函数表的步长ℎ应取多少？ 首先，为了使用二次插值来近似求解𝑒^𝑥的值，需要选取三个点𝑥𝑖−1，𝑥𝑖，𝑥𝑖+1 ∈ [−4, 4]并满足𝑥𝑖 = 𝑥𝑖−1 + ℎ, 𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 + ℎ。截断误差𝑅2(𝑥)定义如下： 𝑅2(𝑥) = 1/3! 𝑓′′′(𝜉𝑥) (𝑥−𝑥𝑖−1)(𝑥−𝑥𝑖)(𝑥−𝑥𝑖+1) 并且由于𝑅2(𝑥)≤ 1/6 max𝑥𝑖−1<𝜉<𝑥𝑖+1 |𝑓′′′(𝜉)| max𝑥𝑖−1<𝑥<𝑥𝑖+1 (𝑥−𝑥𝑖−1)(𝑥−𝑥𝑖)(𝑥−𝑥𝑖+1)，其中max𝑥𝑖−1<𝜉<𝑥𝑖+1 |𝑓′′′(𝜉)| = 𝑒^4。对于第六章15题，要求找到max𝑥𝑖−1<𝑥<𝑥𝑖+1 (𝑥−𝑥𝑖−1)(𝑥−𝑥𝑖)(𝑥−𝑥𝑖+1)，取𝑡 = (𝑥−𝑥𝑖)/ℎ，其中(−1 ≤ 𝑡 ≤ 1)。于是有(𝑥−𝑥𝑖−1)(𝑥−𝑥𝑖)(𝑥−𝑥𝑖+1) = 𝑡(𝑡−1)(𝑡+1)ℎ^2。因此，截断误差为𝑅2(𝑥)≤ 1/6 𝑒^4 ℎ^2。若要使得𝑅2(𝑥)不超过10^−6，可得ℎ^2 ≤ (6/𝑒^4) * 10^−6，因此ℎ需满足ℎ^2 ≤ 1.653 * 10^−7，解得ℎ ≤ 0.000406。 通过上述方法，可以得到解：在给定的区间内，函数表的步长ℎ应取多少，使得使用二次插值求解𝑒^𝑥的近似值，并且截断误差不超过10^−6。这一习题涉及了数值分析中的插值和截断误差的概念，通过对问题的分析和求解，对于学生们加深了对数值分析相关知识的理解和掌握。