离散曲面曲率流的稳定与存在性：Delaunay三角剖分与Teichmüller空间

本篇笔记是关于清华大学的计算共形几何讲义，具体讨论的是离散曲面曲率流（Discrete Surface Ricci Flow）的第三个部分，特别是离散曲面的稳定性问题。在传统的多面体曲面处理中，如果目标曲率设置过于极端，离散曲率流可能会导致三角形退化，即所谓的“爆破”现象。为了解决这个问题，关键在于引入动态的三角剖分策略，即黎曼度量与时间一同演化，始终保持Delaunay划分。这样做能够确保在满足高斯-博纳条件的目标度量下，离散曲率流会收敛。 该讲义的核心数学工具包括Teichmüller空间理论和代数拓扑中的区域不变定理。存在性定理阐述了在给定封闭曲面和特定条件下的PL度量下，存在一个离散共形等价的度量，它可以通过一系列连续的顶点缩放和保持Delaunay性质的三角剖分得到。此外，定理还强调了离散曲率流不仅解决了稳定性问题，还能通过整体缩放系数将所有满足高斯-博纳条件的度量统一到具有常数离散高斯曲率的状态。 存在性和唯一性定理进一步引申出离散单值化定理，指出对于封闭带顶点的曲面，存在一种PL度量，其离散高斯曲率为常数，且这些度量仅通过整体缩放相互关联。这个结果在离散微分几何中具有重要意义，因为它确保了在离散计算中，曲面的几何性质可以被有效地管理和控制。 这篇笔记深入探讨了离散曲面曲率流的稳定性问题，并展示了如何通过动态调整三角剖分和黎曼度量来达到稳定性和目标曲率的实现，这对于数值几何建模和计算机图形学领域具有实际应用价值。