NOI2020 命运Destiny题解：树染色问题

"NOI2020部分题目命题报告，涉及命运Destiny问题，讨论了一种有标号有根树的染色问题，要求在返祖边的约束下找到合法的染色方案数，并给出平方级别的解决方案。" 在NOI2020的竞赛中，有一个名为"命运Destiny"的问题，它涉及到图论中的树染色问题。问题背景是一个有标号的有根树𝑇，以及一组返祖边Ｅ，其中返祖边是指那些连接非同一节点但存在祖先关系的边。目标是找到所有使返祖边路径上至少有一条白色边的合法染色方案，数量对一个给定的数取模。 首先，我们需要理解题目中的关键概念。部分染色方案指的是只确定了根节点𝑢的一个子树内边的染色状态，而其余边的状态未知。一个部分染色方案合法，当且仅当所有完全在子树外部的返祖边的路径上都存在白色边。补全则指将这个部分染色方案扩展到整个树的染色方案，合法补全即扩展后的完整方案仍然满足条件。 定理1.1指出，如果两个关于节点𝑢的合法部分染色方案具有相同的最小白色边位置𝑝(𝒞𝑢)，那么它们的合法补全方案数是相等的。证明主要考虑了三种类型的返祖边，并逐一分析它们在两种不同部分染色方案中的满足情况。 为了求解这个问题，可以使用动态规划（DP）的方法。设𝑑𝑝[𝑢][𝑘]表示以𝑢为根的子树中，满足在𝑢的第𝑘个祖先和第𝑘+1个祖先之间有一条白色边的合法部分染色方案数。通过递归地计算每个节点的dp值，可以构建出整个树的解。 算法的大致步骤如下： 1. 初始化dp数组，dp[根][0]表示没有强制要求白色边的情况，通常为1。 2. 对于每个节点𝑢，遍历其所有子节点𝑣，根据子节点的dp值更新当前节点的dp值。这涉及到对所有可能的边界位置和子树内的合法染色方案的组合进行考虑。 3. 使用递归或迭代的方式处理所有节点，直到dp数组的所有元素都被计算出来。 4. 最后，dp[根][特定值]即为满足条件的合法染色方案数对模的结果。 这种平方级别的解决方案（𝑂(𝑛2)）虽然在时间复杂度上不是最优的，但对于题目规定的树大小（|𝑇|≤3×105）是可行的。然而，在实际的竞赛或复杂问题中，可能会寻求更高效的算法，如使用树状数组、拓扑排序或者树链剖分等技术来优化时间复杂度。 "命运Destiny"问题考察了选手对树结构的理解、染色问题的处理以及动态规划的应用能力。通过这个题目，参赛者可以深入理解图的性质，以及如何在算法设计中利用这些性质来优化解题策略。