基于GCV准则的Symmlq方法：解决Symm积分方程的噪声适应求解策略

本文主要探讨了Symm积分方程在Hadamard意义下的不适定性质。Symm积分方程在离散化后会形成线性离散不适定系统，这在数值计算中是一个常见的挑战。针对这个问题，作者提出了一个基于GCV准则的正则化Symmlq方法，这是一种数值求解策略，用于解决这类不适定问题。 GCV（Generalized Cross Validation）准则是一种常用的正则化技术，它在数据存在噪声的情况下能够提供更稳健的解决方案。相比于传统的Tikhonov正则化方法，正则化Symmlq方法具有更快且更有效地反演出Symm积分方程数值解的能力。Tikhonov正则化通常通过添加一个惩罚项来减少模型复杂度，防止过拟合，但在处理噪声数据时可能会受到较大影响。 在文中，作者详细阐述了正则化Symmlq方法的实施步骤，可能包括矩阵的SVD（奇异值分解）操作，利用GCV准则选择合适的正则化参数，以及优化求解过程以得到最优的数值解。SVD在此过程中扮演着关键角色，因为它可以分解矩阵为三个部分，便于处理线性系统的特征和条件。 本文的研究对数值分析和信号处理等领域具有重要意义，特别是在处理含有噪声的Symm积分方程时，正则化Symmlq方法为获得稳定且精确的解提供了一种有效工具。此外，该研究也为其他类似不适定问题的数值求解提供了新的思路和改进方法，有助于推动相关领域的理论发展和技术进步。