正则化Gmres方法求解Symm积分方程

"Symm积分方程的正则化Gmres方法* (2013年)" 本文主要探讨了在解决Symm积分方程这一在位势理论中有重要地位的不适定问题时，如何采用正则化Gmres方法进行数值求解。Symm积分方程属于一类具有弱奇异性核的特殊第一类Fredholm积分方程，常用于处理Dirichlet条件下的Laplace方程。由于其内在的不适定性和奇异性，直接求解存在较大挑战。 正则化是处理这类不适定问题的关键，它旨在引入适当的正则项来稳定问题并减少噪声的影响。传统的正则化方法，如Tikhonov正则化，需要预先确定一个合适的正则参数，这往往是一个难题。为解决这个问题，文中提出了结合参数化信赖域法的正则化策略。 参数化信赖域法是一种优化方法，可以动态调整正则参数，避免了手动选择参数的困扰。在此基础上，文章进一步将Symm积分方程离散化，然后应用Gmres（Generalized Minimal Residual）算法，这是一种用于求解线性系统的迭代方法，特别适用于处理大型稀疏线性系统。Gmres通过最小化残差范数来逐步逼近解，直到达到预设的收敛准则。 在离散后的适定方程中，结合参数化信赖域法，Gmres算法能够有效处理因数据噪声引起的不稳定性。数值实验验证了这种方法在有噪声数据情况下的效率，证明了正则化Gmres方法在求解Symm积分方程时的可行性和有效性。 该研究对解决实际问题中的不适定积分方程提供了新的思路，特别是在处理具有噪声的数据时，正则化Gmres方法显示出优越的性能。这不仅丰富了数值积分理论，也为实际应用提供了强大的工具。同时，这一方法的提出也对信赖域算法和Gmres算法的结合使用提供了新的应用场景，对于后续的数值计算研究具有指导意义。