"斯坦福大学公开课:机器学习课程note2翻译"
在本节中,我们将深入探讨生成学习算法,这是机器学习领域的一种重要方法。生成学习算法与区别学习算法(如逻辑回归和感知机)不同,它不直接学习目标变量y关于输入x的条件分布P(y|x),而是学习输入数据x的联合分布P(x, y)或其组成部分P(x|y)和P(y)。这样的算法可以提供对数据生成过程的理解,并用于生成新实例或进行概率预测。
生成学习的一个核心概念是贝叶斯定理,它给出了在给定观察数据x的情况下,目标变量y的后验概率P(y|x)。根据贝叶斯定理,我们可以表达为:
\[ P(y|x) = \frac{P(x|y)P(y)}{P(x)} \]
其中,P(x)是x的边缘概率,可以通过全概率公式计算得到:
\[ P(x) = \sum_y P(x|y)P(y) \]
然而,在实际应用中,如果我们的目标只是进行预测,通常不需要计算P(x),因为:
\[ P(y|x) = \frac{P(x|y)P(y)}{P(x)} \propto P(x|y)P(y) \]
生成学习算法的一个经典示例是高斯判别分析(Gaussian Discriminant Analysis,GDA)。在GDA中,我们假设每个类别y具有一个独立的高斯(正态)分布。具体来说,对于类别y=0(例如,狗)和y=1(例如,大象),我们有:
\[ P(x|y=0) \sim N(\mu_0, \Sigma_0) \]
\[ P(x|y=1) \sim N(\mu_1, \Sigma_1) \]
其中,\(\mu_0\) 和 \(\mu_1\) 分别是狗和大象特征的均值向量,而 \(\Sigma_0\) 和 \(\Sigma_1\) 是它们对应的协方差矩阵。高斯分布的参数包括均值和协方差矩阵,它们共同决定了数据在特征空间中的分布形状和位置。
多元正态分布(multivariate normal distribution)是所有特征联合的分布,它具有以下概率密度函数形式:
\[ f(x|\mu, \Sigma) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}|\Sigma|^{1/2}} \exp\left(-\frac{1}{2}(x-\mu)^T\Sigma^{-1}(x-\mu)\right) \]
这里的n是特征的维度,\(\mu\) 是均值向量,\(\Sigma\) 是协方差矩阵,|Σ|是该矩阵的行列式,它给出了在n维空间中包围数据点的体积。
在GDA中,我们学习这些参数来构建模型,然后使用贝叶斯定理计算给定x时的后验概率P(y|x),从而进行分类。这种方法在处理连续特征和有限类别的问题时特别有效,因为它提供了对数据分布的深刻理解,并允许我们生成符合类别分布的新样本。
总结起来,生成学习算法如高斯判别分析通过学习数据的生成过程来进行预测,不仅提供分类功能,还能用于生成新的数据实例。在斯坦福大学的这门机器学习课程中,学生将更深入地了解如何利用这些算法解决实际问题,并掌握如何在不同场景下选择和应用适当的机器学习模型。