"算法设计与分析基础习题及参考答案：证明最大公约数等式与欧几里得算法"

本文主要讨论了算法设计与分析中的基础习题和参考答案，并提供了一些解题思路和提示。其中习题1.1 5证明了等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)对于所有正整数m和n都成立。根据除法的定义和整除的性质，可以证明这个等式成立。习题6讨论了欧几里得算法处理第一个数字小于第二个数字的情况，指出欧几里得算法在处理这种输入时只会发生一次交换。习题7则讨论了Euclid算法在处理所有1≤m,n≤10的输入时所需的最少除法次数。 在习题1.1 5中，我们要证明对于任意一对正整数m和n，等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)成立。首先我们需要明确gcd的定义：最大公约数是能整除m和n的最大的正整数。根据除法的定义，如果d整除u和v，那么d一定能整除u±v。同时，如果d整除u，则d也能整除u的任何整数倍ku。 对于任意一对正整数m和n，假设d能整除m和n，即d|m且d|n。我们可以通过除法的定义推导出d一定能整除n和r=m mod n=m-qn。明显地，如果d能整除n和r，也一定能整除m=rqn和n。所以，数对(m,n)和(n,r)具有相同的公约数的有限非空集，其中也包括最大公约数。因此，gcd(m,n)=gcd(n,r)。 习题6中讨论了欧几里得算法处理第一个数字小于第二个数字的情况。欧几里得算法是通过不断迭代求解最大公约数的。对于任何形如0≤m<n的一对数字，欧几里得算法在第一次迭代时会交换m和n，即gcd(m,n)=gcd(n,m)。而且，这种交换处理只会发生一次。 习题7a要求计算对于所有1≤m,n≤10的输入，欧几里得算法最少要做几次除法。根据欧几里得算法的原理，每一次迭代都会将除数和余数进行调换，并且余数一定小于除数。所以，对于上述的输入范围，欧几里得算法最多只会进行一次除法。 总结起来，本文通过讨论算法设计与分析的基础习题和提供相应的参考答案，为初学算法的朋友提供了一个锻炼的场所。其中重点解析了习题1.1 5中等式gcd(m,n)=gcd(n,m mod n)的证明方法，以及欧几里得算法对于第一个数字小于第二个数字的处理方式和最少除法次数。这些内容为读者加深对算法设计与分析基础的理解提供了参考。