导数研究：函数极值与最值案例分析

本资源是一份针对2021-2022学年度教育精品资料中的专题讲座，主要关注于利用导数研究函数的极值和最值。内容分为三个部分： 1. 利用导数解决函数极值问题：这部分强调了通过分析函数导数y = (1-x)f'(x)的图象来判断函数f(x)的极值点。例如，例1-1中提到，通过观察导函数的正负变化，确定了函数在x=-2处取得极大值，在x=2处取得极小值。判断极值点的关键在于理解导数与函数单调性的关系，即导数的符号变化对应着函数的增减趋势。 2. 已知函数求极值的讨论：例1-2以函数f(x) = ln x - ax为例，展示了如何通过求导找到函数的极值。当a=0时，函数单调递增无极值；当a<0时，函数有唯一极大值；而当a>0时，需要进一步分析。寻找极值点的通用步骤包括求导、解方程找出极值点，并检查导数的符号变化。 3. 已知函数极(最)值求参数取值：例1-3涉及到利用切线方程来求解参数问题。具体来说，通过求函数f(x) = ln x在点P(0,-1)的切线，可以计算出x0 = 1，进而得出切线方程y = x - 1。对于另一个函数g(x) = mx^2 - x + m，为了确保g(x)存在极值，需要对h(x) = mx^2 - x + m进行分析，这通常涉及到二次函数的性质和判别式。 这份资料是针对高中或大学阶段的数学课程，重点教授如何利用导数工具理解和解决函数极值问题，以及如何根据实际问题调整参数。通过实例演示和方法总结，帮助学生深入理解导数在优化问题中的应用，提升解题技巧。