变系数非稳态对流扩散方程的四阶紧致差分格式

"一类变系数非稳态对流扩散方程的四阶紧致差分格式，通过内蒙古大学数学科学学院的研究者何斯日古楞和李宏提出的高阶数值方法，解决了对流扩散问题中的迎风效应挑战。该格式在时间和空间上具有四阶收敛精度，能有效应用于复杂变系数的非齐次对流扩散问题，且结构简洁，易于推广。文中通过数值算例验证了其有效性与可靠性。" 对流扩散方程是流体动力学和计算数学领域中的核心问题，特别是当涉及变系数和非稳态情况时，其数值模拟更具挑战性。传统的迎风型差分格式虽然能处理迎风效应，但通常只有第一阶精度。而ENO和WENO等高分辨率格式虽然理论上可以实现任意阶精度，但计算复杂度较高。近年来，高精度紧致差分格式因其在保持高精度的同时降低了计算复杂性，成为研究热点。 论文介绍了一种新的四阶Runge-Kutta高阶紧致差分格式，该格式特别针对变系数非稳态对流扩散方程设计。方程形式如下： \[ \frac{\partial U}{\partial t} + a(x,t)\frac{\partial U}{\partial x} - b^2(x,t)\frac{\partial^2 U}{\partial x^2} = f(x,t), \] 其中 \( U \) 是依赖于位置 \( x \) 和时间 \( t \) 的未知函数，\( a \) 和 \( b \) 分别是位置和时间依赖的对流和扩散系数，\( f \) 是源项。边界条件为 \( U(0,t) = u(1,t) = 0 \) 和初始条件 \( U(x,0) = g(x) \)。 该格式的优点在于其时空四阶收敛性，即 \( O(h^4, \tau^4) \)，其中 \( h \) 表示空间步长，\( \tau \) 表示时间步长。这种高精度特性使得该格式在处理复杂的物理现象时能够提供更精确的结果。此外，构造方法简便，可以方便地扩展到其他类似的数值问题。 为了证明新方法的有效性和可靠性，论文提供了数值实验，这些实验模拟了具有不同系数和源项的非齐次对流扩散问题。实验结果表明，所提出的四阶紧致差分格式不仅能准确捕捉流动特征，而且在处理变系数和非齐次源项时表现出优异的性能。 总结来说，这篇2011年的自然科学论文为解决变系数非稳态对流扩散问题提供了一个高效且具有高精度的数值方法，对计算数学和计算流体力学的实践应用具有重要价值。这一方法的提出，有助于推进对复杂流体流动问题的数值模拟技术，尤其是在面对实际工程和物理问题时，能提供更加精确的计算工具。