上海交大教练讲解：素数筛法与数论基础

"简单数论及算法选讲是一份由上海交通大学Zhiyuan学院ACMHonoredClass的邵俊儒教练编撰的数论入门资料。这份课程主要涵盖了基础的数论概念，包括但不限于素数理论。其中重点讲解了素数筛法，如著名的欧拉筛法和线性筛，它们是一种高效查找一定范围内素数的方法，时间复杂度能达到O(n)，同时这些算法也涉及到对数论中的预处理操作，例如分解质因数。 在数论的运算方面，课程介绍了积性函数的概念，如欧拉函数φ（计算一个数的欧拉函数值等于小于该数的所有正整数与它互质的个数）、因子个数函数d（计算一个数的因子数量）以及因子和函数σ（计算一个数所有因子之和）。这些都是数论中用于分析数的性质的重要工具。 数论部分还探讨了素数的性质，比如素数个数π(n)与n的关系，指出π(n)大致上与n的对数成正比，即π(n)~n ln(n)，并且强调了素数间的间隔平均来说是O(logn)。这在密码学、编码理论等领域有着重要应用。 此外，课程中涉及了幂取模的运算，这是一种在计算中常用的技术，特别是在处理大数和模数时。快速幂算法被用来高效地计算一个数的幂次模p，通过分治策略简化了计算过程，当n是偶数时，可以利用平方和乘法来降低计算复杂度。 这份资料为学习者提供了一个深入理解数论基础知识的平台，对于想要进入计算机科学特别是算法设计与分析领域的人来说，掌握这些内容至关重要。"