MATLAB LMI工具箱:解决广义特征值问题及渐进稳定性分析
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更新于2024-07-11
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本资源主要介绍了如何在MATLAB的LMI工具箱中解决广义特征值问题(GEVP),这是一种在控制理论中广泛应用的优化问题。首先,我们回顾了背景中的一个优化问题,目标是设计状态反馈控制律使得闭环系统渐进稳定。系统模型由状态方程、输入矩阵B以及对称正定阵P组成。为了确保稳定性,需要满足一组矩阵不等式(LMI),即Lyapunov方程的线性矩阵形式。
MATLAB LMI工具箱提供了强大的功能来处理这类问题。具体步骤包括:
1. **定义问题**:通过`setlmis([])`清空当前的线性矩阵不等式(LMIs)系统,并使用`lmivar`函数创建变量,如状态变量X和控制变量W,它们的维度分别为[3,1]和[1,3]。
2. **构建LMI**:通过`lmiterm`函数定义不等式结构,例如`lmiterm([1 1 1 X], A, 1, 's')`表示矩阵A与变量X的线性组合,这里使用了复数域上的1。另外,还有`lmiterm`用于输入矩阵B和系统稳定性条件。
3. **编程实现**:编写MATLAB代码来实现上述不等式的设置,包括`XA`, `AX`, `BW`, 和 `WB` 的矩阵运算,这些矩阵是系统动态的体现。
4. **求解**:调用`feasp`函数来求解满足稳定性的参数组合,返回时间界限`tmin`和可行解`xfeas`。通过`dec2mat`将解转换回数值矩阵。
5. **控制律计算**:利用解出的变量X和W计算控制器K,通常通过`inv(XX)`得到稳定的反馈矩阵。
6. **代码清理**:最后,使用`clc`和`clearall`清除工作空间和命令窗口,以便于下一轮的执行或代码复用。
总结来说,这个资源重点展示了如何在MATLAB的LMI工具箱中通过构造和求解广义特征值问题来设计状态反馈控制策略,确保系统的稳定性。它涵盖了从问题定义到求解和结果应用的关键步骤。
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