MATLAB LMI工具箱：解决广义特征值问题及渐进稳定性分析

本资源主要介绍了如何在MATLAB的LMI工具箱中解决广义特征值问题（GEVP），这是一种在控制理论中广泛应用的优化问题。首先，我们回顾了背景中的一个优化问题，目标是设计状态反馈控制律使得闭环系统渐进稳定。系统模型由状态方程、输入矩阵B以及对称正定阵P组成。为了确保稳定性，需要满足一组矩阵不等式（LMI），即Lyapunov方程的线性矩阵形式。 MATLAB LMI工具箱提供了强大的功能来处理这类问题。具体步骤包括： 1. **定义问题**：通过`setlmis([])`清空当前的线性矩阵不等式（LMIs）系统，并使用`lmivar`函数创建变量，如状态变量X和控制变量W，它们的维度分别为[3,1]和[1,3]。 2. **构建LMI**：通过`lmiterm`函数定义不等式结构，例如`lmiterm([1 1 1 X], A, 1, 's')`表示矩阵A与变量X的线性组合，这里使用了复数域上的1。另外，还有`lmiterm`用于输入矩阵B和系统稳定性条件。 3. **编程实现**：编写MATLAB代码来实现上述不等式的设置，包括`XA`, `AX`, `BW`, 和 `WB` 的矩阵运算，这些矩阵是系统动态的体现。 4. **求解**：调用`feasp`函数来求解满足稳定性的参数组合，返回时间界限`tmin`和可行解`xfeas`。通过`dec2mat`将解转换回数值矩阵。 5. **控制律计算**：利用解出的变量X和W计算控制器K，通常通过`inv(XX)`得到稳定的反馈矩阵。 6. **代码清理**：最后，使用`clc`和`clearall`清除工作空间和命令窗口，以便于下一轮的执行或代码复用。 总结来说，这个资源重点展示了如何在MATLAB的LMI工具箱中通过构造和求解广义特征值问题来设计状态反馈控制策略，确保系统的稳定性。它涵盖了从问题定义到求解和结果应用的关键步骤。