MATLAB LMI工具箱解决广义特征值问题(GEVP)实战

"这篇PPT主要介绍了如何使用MATLAB的LMI工具箱解决广义特征值问题（GEVP）。LMI工具箱是MATLAB中用于处理线性矩阵不等式（LMI）的一个强大工具，它在控制理论、优化问题等领域有广泛应用。GEVP涉及到寻找矩阵A和B的广义特征值，目标是最小化这些特征值。" 在控制理论中，广义特征值问题通常用于分析系统的稳定性或设计控制器。例如，给定一个线性时不变系统，其动态由矩阵A和输入矩阵B描述，我们可能希望找到一个状态反馈控制律K，使得闭环系统渐进稳定。这可以通过解决一个LMI来实现，即确保某个性能指标矩阵P是正定的，同时满足特定的LMI条件。 首先，对于给定的系统 \( x' = Ax + Bu \)，我们需要设计一个状态反馈控制律 \( u = Kx \) 使闭环系统 \( x' = (A - BK)x \) 渐进稳定。稳定性的标准是存在一个正定矩阵P，满足Lyapunov不等式 \( PA + A'P + BK'PB < 0 \)。 LMI工具箱中的关键函数包括 `lmivar` 用于创建矩阵变量，`lmiterm` 用于构建LMI表达式，以及 `feasp` 用于求解LMI问题。例如，通过以下MATLAB代码可以设置和解决LMI问题： ```matlab A = [-1 -2 1; 3 2 1; 1 -2 -1]; B = [1; 0; 1]; setlmis([]); X = lmivar(1, [3 1]); W = lmivar(2, [1 3]); lmiterm([1 1 1 X], A, 1, 's'); % AX + XA' lmiterm([1 1 1 W], B, 1, 's'); % BW + WB' lmiterm([-2 1 1 X], 1, 1); % -2X lmisys = getlmis; [tmin, xfeas] = feasp(lmisys); XX = dec2mat(lmisys, xfeas, X); WW = dec2mat(lmisys, xfeas, W); K = WW \ XX; ``` 这段代码首先定义了系统矩阵A和B，然后创建了LMI变量X和W，接着构造了LMI表达式，包括 \( AX + XA' \)，\( BW + WB' \) 和 \( -2X \)。使用 `feasp` 函数求解这些LMI，得到的解将用于计算控制器K的矩阵。 通过这样的方法，我们可以利用MATLAB LMI工具箱有效地解决广义特征值问题，设计出使闭环系统稳定的控制器。这种技术在现代控制理论中有着广泛的应用，如在卡尔曼滤波、H_∞ 控制、鲁棒控制等问题中。