MATLAB LMI工具箱解决广义特征值问题(GEVP)实战
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更新于2024-07-11
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"这篇PPT主要介绍了如何使用MATLAB的LMI工具箱解决广义特征值问题(GEVP)。LMI工具箱是MATLAB中用于处理线性矩阵不等式(LMI)的一个强大工具,它在控制理论、优化问题等领域有广泛应用。GEVP涉及到寻找矩阵A和B的广义特征值,目标是最小化这些特征值。"
在控制理论中,广义特征值问题通常用于分析系统的稳定性或设计控制器。例如,给定一个线性时不变系统,其动态由矩阵A和输入矩阵B描述,我们可能希望找到一个状态反馈控制律K,使得闭环系统渐进稳定。这可以通过解决一个LMI来实现,即确保某个性能指标矩阵P是正定的,同时满足特定的LMI条件。
首先,对于给定的系统 \( x' = Ax + Bu \),我们需要设计一个状态反馈控制律 \( u = Kx \) 使闭环系统 \( x' = (A - BK)x \) 渐进稳定。稳定性的标准是存在一个正定矩阵P,满足Lyapunov不等式 \( PA + A'P + BK'PB < 0 \)。
LMI工具箱中的关键函数包括 `lmivar` 用于创建矩阵变量,`lmiterm` 用于构建LMI表达式,以及 `feasp` 用于求解LMI问题。例如,通过以下MATLAB代码可以设置和解决LMI问题:
```matlab
A = [-1 -2 1; 3 2 1; 1 -2 -1];
B = [1; 0; 1];
setlmis([]);
X = lmivar(1, [3 1]);
W = lmivar(2, [1 3]);
lmiterm([1 1 1 X], A, 1, 's'); % AX + XA'
lmiterm([1 1 1 W], B, 1, 's'); % BW + WB'
lmiterm([-2 1 1 X], 1, 1); % -2X
lmisys = getlmis;
[tmin, xfeas] = feasp(lmisys);
XX = dec2mat(lmisys, xfeas, X);
WW = dec2mat(lmisys, xfeas, W);
K = WW \ XX;
```
这段代码首先定义了系统矩阵A和B,然后创建了LMI变量X和W,接着构造了LMI表达式,包括 \( AX + XA' \),\( BW + WB' \) 和 \( -2X \)。使用 `feasp` 函数求解这些LMI,得到的解将用于计算控制器K的矩阵。
通过这样的方法,我们可以利用MATLAB LMI工具箱有效地解决广义特征值问题,设计出使闭环系统稳定的控制器。这种技术在现代控制理论中有着广泛的应用,如在卡尔曼滤波、H_∞ 控制、鲁棒控制等问题中。
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