正交小波函数详解：Haar小波与变换算法

"这篇资料来自清华大学计算机系，主要讲解了正交小波函数的构造，特别是以Haar小波分析为例，并涉及到了小波变换的计算方法，包括矩阵算法和提升算法。此外，还介绍了多分辨分析的概念以及尺度函数、小波函数在多分辨分析中的应用。" 正交小波函数是一种在不同尺度和位置上分析信号的重要工具，它们具有局部化特性和多分辨率分析能力，广泛应用于图像处理、信号压缩、数据分析等领域。在这个主题中，我们重点关注Haar小波和小波变换的计算。 Haar小波是最早被提出的小波函数之一，它的基本形式非常简单，可以用于构建离散小波变换。例如，Haar小波基函数由两个单位脉冲组成，一个在[0,1)区间，另一个在[1,2)区间，通过平移和缩放可以得到不同尺度和位置的小波函数。 小波变换通常分为正向变换和逆向变换。正向变换将原始信号分解为不同尺度和位置的细节和平均值，而逆向变换则通过这些细节和平均值重构原始信号。在计算小波变换时，Mallat算法是一种常用的方法，它基于滤波器理论，通过级联结构的滤波器来实现小波系数的计算。此外，提升算法提供了一种更高效的方式来执行小波变换，它通过一系列简单的操作（提升步骤）逐步构建小波系数。 在多分辨分析中，尺度空间（V_j）和小波空间（W_j）是关键概念。尺度空间包含在特定尺度下的信号近似，而小波空间则包含了对应尺度的细节信息。函数的多分辨表示就是通过尺度函数和小波函数的线性组合来近似原始函数。这有助于理解信号在不同分辨率下的特性，并且在信号去噪、特征提取等应用中非常有用。 多分辨逼近是指通过尺度函数和小波函数的组合逐步逼近信号的过程。每个级别上的逼近都是前一级别的细化，提供了更精确的信号表示。在实际计算中，这通常涉及到一系列的矩阵运算或提升算法。 总结来说，这篇资料深入浅出地介绍了小波理论的关键元素，包括Haar小波、小波变换的计算方法以及多分辨分析的基本概念，对于理解和应用小波理论有着重要的指导价值。对于想要深入学习和应用小波分析的读者，这些都是不可或缺的基础知识。