无人驾驶汽车轨迹跟踪控制中的LQR公式推导

"本文是关于无人驾驶汽车轨迹跟踪控制的LQR控制器的公式推导学习记录。" 在自动驾驶领域，LQR（Linear Quadratic Regulator）控制器是一种广泛应用的控制策略，用于优化系统的性能指标。在无人驾驶汽车的轨迹跟踪控制中，LQR被用来实时调整控制输入，确保车辆能精确地沿着预设轨迹行驶，同时保证行驶的平稳性。 首先，我们需要理解轨迹跟踪控制的两个主要组成部分：纵向控制和横向控制。纵向控制关注车辆的速度跟踪，根据期望速度来调节车辆的加速度，进而控制油门或刹车，保证车辆速度接近目标值。横向控制则涉及路径跟踪，通过调整方向盘角度，使汽车沿预定路径行驶。 在横向控制中，我们通常建立运动学模型来描述车辆的行为。一个简单的模型可以表示为：车辆的位置（Y, X）与横摆角（θ）和轮速（v）的关系，以及前轮转角（δ）如何影响这些参数。其中，l是车辆轴距，r是轮胎半径，θ'是横摆角速度，s是车辆沿路径的偏移量。这个模型假设车辆在直行时是线性的，但在转弯时会受到侧向力的影响。 接下来，为了进行更精确的控制，我们需要车辆的动力学模型。这个模型考虑了车辆在横向和纵向的加速度以及横摆角速度，以及这些动态如何受制于作用在车轮上的力。通常，我们会忽略垂直方向的运动，构建一个二维模型，专注于横向和纵向的动态行为。 LQR控制器的设计基于状态空间模型，它包括状态变量（如位置、速度、横摆角等）和控制输入（如油门、刹车、方向盘角度）。控制器的目标是通过最小化一个二次性能指标（如误差平方和）来优化控制输入，这个指标反映了跟踪误差和控制输入的大小。 LQR的公式推导涉及到拉格朗日乘子法和动态矩阵控制（DMC）的概念。首先，定义状态转移矩阵和控制输入矩阵，然后构造性能指标函数，它包含了状态误差和控制输入的权重。通过求解哈密顿矩阵的特征值问题，可以得到最优控制律，即LQR控制器的输出。 在实际应用中，LQR控制器的性能可能会受到车辆模型简化、不确定性以及实时计算限制的影响。因此，通常需要对模型进行校正和补偿，或者结合其他控制策略，如滑模控制或自适应控制，以提高鲁棒性和适应性。 LQR公式推导是无人驾驶汽车轨迹跟踪控制中的关键步骤，它为实时、高效和精确的路径跟随提供了理论基础。通过不断学习和优化，LQR控制器可以进一步提升自动驾驶车辆的行驶安全性和舒适性。