同济大学第四版《工程线性代数》习题解答

"这是一份关于《工程线性代数》同济大学第四版的习题解答，由黄正华编撰，包含了第一章至第五章的主要习题答案，特别是对行列式、矩阵及其运算、线性方程组、向量组的线性相关性和相似矩阵及二次型等内容进行了详细解答。" 《工程线性代数》是数学的一个重要分支，同济大学第四版教材是该领域的经典教科书之一。这份资料主要提供了该书课后习题的参考答案，便于学生自我检验和深入理解课程内容。 1. 行列式：行列式是线性代数的基础概念，用于衡量一个方阵的性质。题目中展示了如何利用对角线法则计算三阶行列式。例如，对于一个三阶行列式，可以通过主对角线元素的乘积之和减去副对角线元素的乘积之和来求解。具体解答过程如下： - (1) 通过对角线法则计算得到结果为-4。 - (2) 利用行列式的性质，可以将其转化为三项之和减去三项之和的形式，进一步简化求解。 - (3) 同样，通过展开并利用立方差公式，可以将行列式化简为(a-b)(b-c)(c-a)。 - (4) 对于含变量的行列式，可以按照同样的方法进行展开，然后提取公因式进行化简。 2. 矩阵及其运算：矩阵是线性代数中的核心概念，包括矩阵的加法、减法、乘法以及与标量的乘法。这里未直接给出矩阵运算的具体题目，但在实际学习中，理解矩阵运算规则，如分配律、结合律和交换律等是至关重要的。 3. 矩阵的初等变换与线性方程组：初等行变换可以帮助解决线性方程组，例如消元法。这些变换包括交换两行、将一行乘以非零常数以及将一行加上另一行的常数倍。通过这些变换，可以将线性方程组转化为阶梯形或最简行阶梯形，从而求解未知数。 4. 向量组的线性相关性：向量组的线性相关性涉及到向量的线性组合是否可以表示为零向量，以及向量组的秩和极大无关组的概念。了解这些可以帮助判断线性方程组的解空间结构。 5. 相似矩阵及二次型：相似矩阵具有相同的特征值和迹，且它们的特征向量可以通过相似变换相互联系。二次型是自变量的二次多项式，通过合同变换可以将二次型化为标准形式，便于分析其性质。 这些习题答案为学习者提供了解题思路和方法，有助于巩固理论知识，提高解决实际问题的能力。在学习过程中，不仅要掌握计算技巧，还要理解各种概念背后的数学原理，这样才能更好地运用线性代数解决问题。