双线性变换法设计IIR滤波器实验指南

"本实验主要关注使用双线性变换法设计IIR数字滤波器，旨在让学生掌握设计原理、编程实现以及理解其频响特性和变换特点。实验内容包括设计BW和CB型DF的全过程。" 双线性变换法是一种在设计无限 impulse response (IIR) 数字滤波器时常用的技术，它主要用于解决冲击响应不变法可能导致的频率混叠问题。这种方法将连续时间系统的S平面映射到离散时间系统的Z平面，以确保滤波器的稳定性。 双线性变换的基本公式为： \[ z = e^{sT/2} \] 其中，\( s \) 是S平面的复数变量，\( z \) 是Z平面的复数变量，而 \( T \) 是采样周期。这个变换具有双线性性质，即在S平面对应的每个点，Z平面上都有一个对应的点，且变换保持了频率响应的比例关系。 将 \( s = \sigma + j\Omega \) 代入上述公式，可以得到从S到Z的映射关系，其中 \( \sigma \) 表示实部，\( \Omega \) 表示虚部（频率）。映射后，整个S平面的左半平面（对应稳定系统）被映射到Z平面的单位圆内，保证了离散系统的稳定性。同时，虚轴以一一对应的方式映射到单位圆，避免了频率混叠现象。 在进行滤波器设计时，双线性变换法可以用来保持模拟滤波器的频率响应特性，尤其是在低频和高频部分，通过适当的参数调整，可以实现对模拟滤波器特性的精确复制。在实际应用中，通常会用到的是带通滤波器（BW型）和带阻滤波器（CB型），这两种类型的滤波器在信号处理和通信系统中有广泛应用。 在实验中，学生将学习如何运用双线性变换法来设计这些滤波器，并通过编程实现。实验过程包括选择合适的模拟原型滤波器，进行参数计算，然后利用双线性变换将模拟滤波器转换为数字滤波器。最后，通过分析设计的数字滤波器的频率响应特性，学生可以深入理解双线性变换法的优缺点，例如其在频率响应平滑性和计算复杂性之间的平衡。 这个实验是一个综合性的学习体验，涵盖了理论知识、计算技巧和实际应用，对于理解和掌握IIR滤波器设计至关重要。通过这样的实践，学生不仅能提升编程技能，还能增强对数字信号处理基础概念的理解。