离散数学图论复习：集合与关系解析

"这份资料是哈尔滨工业大学离散数学课程中的图论复习材料，包含了例题和模拟考试题目，旨在帮助学生复习和理解图论及集合论相关知识。" 本文主要涉及的知识点包括： 1. 集合表示法：通过谓词逻辑表示不同类型的集合，如偶数集合、奇数集合、10的倍数集合等，这体现了集合论的基础概念，即如何用数学语言精确描述特定对象的集合。 2. 集合的性质与关系： - 判断题中指出，包含相同元素但顺序不同的集合是相同的集合，例如集合A={1,2,3}与B={2,3,1}是相同的。 - 介绍了空集（Φ）的概念，它是任何集合的子集。 - 自反、对称、反对称和传递关系在二元关系上的定义，以及如何根据关系判断这些性质。例如，一个关系R是自反的，如果对于所有元素a，都有(a,a)属于R；是对称的，如果对于所有(a,b)，(b,a)也属于R；是反对称的，如果对于所有(a,b)，当(a,b)且(b,a)都属于R时，a=b；是传递的，如果对于所有(a,b)和(b,c)，当(a,b)和(b,c)都属于R时，(a,c)也属于R。 3. 集合的子集与幂集： - 子集是指全集中的一部分元素构成的集合，例如集合A={1,2,3}的所有子集包括空集、单元素集合、双元素集合以及自身。 - 幂集是原集合的所有子集构成的集合，例如A={0,1,2,3}的幂集包含了所有可能的子集，包括空集、单元素集合、双元素集合、三元素集合以及全集自身。 4. 集合的运算： - 并集（∪）表示两个集合的所有元素合并，如A∪B包含了A和B中的所有元素，无重复。 - 交集（∩）表示两个集合共有的元素，如A∩B只包含同时在A和B中的元素。 - 差集（-）表示从一个集合中去除另一个集合的元素，如A-B得到的是只在A中但不在B中的元素。 5. 双射与反函数： - 双射函数是每个输入都有唯一输出，且每个输出都有唯一输入的函数。如果f是A到B的双射，那么其反函数f-1是从B到A的双射，且f-1是f的逆操作。 这些知识点涵盖了离散数学中的基础内容，特别是图论和集合论的入门知识，是理解和掌握图论和集合论理论的基础。通过这些练习，学习者可以提升逻辑思维能力，掌握集合的表示、性质、运算以及函数的基本概念。