"这份资料是哈尔滨工业大学离散数学课程中的图论复习材料,包含了例题和模拟考试题目,旨在帮助学生复习和理解图论及集合论相关知识。"
本文主要涉及的知识点包括:
1. 集合表示法:通过谓词逻辑表示不同类型的集合,如偶数集合、奇数集合、10的倍数集合等,这体现了集合论的基础概念,即如何用数学语言精确描述特定对象的集合。
2. 集合的性质与关系:
- 判断题中指出,包含相同元素但顺序不同的集合是相同的集合,例如集合A={1,2,3}与B={2,3,1}是相同的。
- 介绍了空集(Φ)的概念,它是任何集合的子集。
- 自反、对称、反对称和传递关系在二元关系上的定义,以及如何根据关系判断这些性质。例如,一个关系R是自反的,如果对于所有元素a,都有(a,a)属于R;是对称的,如果对于所有(a,b),(b,a)也属于R;是反对称的,如果对于所有(a,b),当(a,b)且(b,a)都属于R时,a=b;是传递的,如果对于所有(a,b)和(b,c),当(a,b)和(b,c)都属于R时,(a,c)也属于R。
3. 集合的子集与幂集:
- 子集是指全集中的一部分元素构成的集合,例如集合A={1,2,3}的所有子集包括空集、单元素集合、双元素集合以及自身。
- 幂集是原集合的所有子集构成的集合,例如A={0,1,2,3}的幂集包含了所有可能的子集,包括空集、单元素集合、双元素集合、三元素集合以及全集自身。
4. 集合的运算:
- 并集(∪)表示两个集合的所有元素合并,如A∪B包含了A和B中的所有元素,无重复。
- 交集(∩)表示两个集合共有的元素,如A∩B只包含同时在A和B中的元素。
- 差集(-)表示从一个集合中去除另一个集合的元素,如A-B得到的是只在A中但不在B中的元素。
5. 双射与反函数:
- 双射函数是每个输入都有唯一输出,且每个输出都有唯一输入的函数。如果f是A到B的双射,那么其反函数f-1是从B到A的双射,且f-1是f的逆操作。
这些知识点涵盖了离散数学中的基础内容,特别是图论和集合论的入门知识,是理解和掌握图论和集合论理论的基础。通过这些练习,学习者可以提升逻辑思维能力,掌握集合的表示、性质、运算以及函数的基本概念。