一维随机过程模拟：随机游动、布朗运动与泊松过程

"这篇资源主要介绍了在一维情况下的几种基本随机过程，包括随机游动、布朗运动和泊松过程，并提供了相应的MATLAB实现代码。这些概念是概率论和统计学中的重要工具，常用于模拟复杂系统的行为。" 一、随机游动 1. 简单随机游动 随机游动是一种基础的随机过程，它描述了一个粒子在离散时间步中沿着数轴随机移动。在MATLAB中，`ranwalk.m`文件实现了这一过程。如果粒子向前跳跃的概率为p，向后跳跃的概率为1-p，可以使用以下代码模拟n步随机游动： ```matlab p = 0.5; y = [0 cumsum(2 .* (rand(1, n-1) <= p) - 1)]; plot([0:n-1], y); ``` 2. 随机步长的随机游动 当每一步的长度不再固定而是随机时，可以使用均匀分布或其他零均值分布来生成步长。例如，使用均匀分布： ```matlab x = rand(1, n) - 1/2; y = [0 cumsum(x) - 1]; plot([0:n], y); ``` 二、布朗运动 布朗运动是随机游动的连续时间版本，它的每个增量是独立的高斯分布。在MATLAB中，`brownian.m`文件通过离散时间的随机游动逼近布朗运动： ```matlab n = 1000; dt = 1; y = [0 cumsum(dt^0.5 .* randn(1, n))]; plot(0:n, y); ``` 三、泊松过程 泊松过程描述了随机事件的发生，事件彼此独立且不同时发生，事件发生率是恒定的。在MATLAB中，可以通过以下方式模拟泊松过程： 1. 固定步数的泊松过程（`poissonjp.m`） ```matlab n = poissrnd(lambda); % 生成泊松分布的事件数 interarr = [0 -log(rand(1, n))./lambda]; stairs(cumsum(interarr), 0:n); ``` 2. 固定时间区间的泊松过程（`poissonti.m`） ```matlab npoints = poissrnd(lambda * tmax); % 生成泊松分布的事件数 if (npoints > 0) arrt = [0; sort(rand(npoints, 1) * tmax)]; else arrt = 0; end stairs(arrt, 0:npoints); ``` 这些MATLAB代码为理解和模拟一维随机过程提供了基础。随机模拟是验证数学模型、估计理论概率和模拟实验的重要手段。通过学习这些基本过程，读者可以进一步研究多维情况、马尔可夫过程以及其他复杂的随机现象。这份资源强调了MATLAB在模拟过程中的实用性和灵活性，并鼓励读者将其应用于实际问题的解决。