非负矩阵在[0-单]单子半群中如何体现正则性？其与主因子和自然极小元之间的关系是什么？

在探讨非负矩阵的[0-单]单子半群时，理解其中的正则性概念至关重要。正则性是指在半群N中，对于任意元素a，都存在一个自然的逆元b，使得a*b*b*a = a。在[0-单]单子半群的框架下，每个非零正则元素a都具有唯一的主因子J(a)和逆元I(a)，这些因子要么是完全单的，要么是完全0-单的。

参考资源链接：[[0-单]单子半群：非负矩阵的完全性质与实例研究](https://wenku.csdn.net/doc/p34fstwfi3?spm=1055.2569.3001.10343)

具体来说，主因子J(a)描述了元素a在其所在的子半群中的最小完全正则理想。在这个理想中，所有的元素都是a的幂等项，即a的乘方，其幂等性保证了元素a可以通过其主因子中的元素进行分解，从而展现出正则性。而自然极小元则是半群中一个特殊的元素，它在整个半群的自然偏序中是最小的元素，且与主因子有着密切的联系，因为它可能属于或者生成一个完全0-单的主因子。

在张荣华、李秀妮和钱双平所著的《[0-单]单子半群：非负矩阵的完全性质与实例研究》中，通过引入自然偏序ζ的概念，作者详细分析了非负矩阵半群中的元素关系，并阐述了正则性如何通过主因子和自然极小元体现出来。例如，一个非负矩阵a的逆元I(a)在自然偏序中为极小元，并且与主因子J(a)紧密相关，其中J(a)可能是完全0-单的，这意味着a在其自然偏序中可能没有比I(a)更小的逆元素，或者I(a)生成了一个包含a的完全0-单子半群。

因此，正则性在[0-单]单子半群中不仅表现为每个非零元素都有逆元，而且还体现在其主因子的结构上，以及如何通过自然极小元与其他元素相互作用。这种深入的理解不仅丰富了非负矩阵半群的理论，也为在数学建模和应用中找到这些结构的实际用途提供了可能。若想更深入地了解非负矩阵半群中的正则性以及其与主因子和自然极小元的关系，建议参阅《[0-单]单子半群：非负矩阵的完全性质与实例研究》一书，其中包含了详尽的理论和实例，以及对这一领域的全面探讨。

参考资源链接：[[0-单]单子半群：非负矩阵的完全性质与实例研究](https://wenku.csdn.net/doc/p34fstwfi3?spm=1055.2569.3001.10343)