Minimum Snap轨迹规划闭式求解解析

"Minimum Snap轨迹规划的闭式求解方法主要针对只有等式约束的二次规划（QP）问题，提供了一种效率更高且仅涉及矩阵运算的解决方案。这种方法源自Nicholas Roy的文章，适用于5阶或其他阶数的轨迹规划。闭式求解的关键在于构建等式约束和巧妙地处理变量。 1. QP等式约束构建 在闭式求解中，等式约束的构造与常规方法有所不同。每个轨迹段的多项式被表示为一系列约束方程，例如对于PVA（位置、速度、加速度）考虑，可以构建一个向量，包含每段起点和终点的各阶导数。如果考虑更高阶的导数如jerk和snap，向量将相应扩展。所有这些约束方程组合成一个大矩阵，其中一部分是已知的（如起点和终点的状态），另一部分是未知的轨迹参数。 2. 求解向量d 为了找到轨迹参数，首先将向量d分为已知的“Fix”部分和未知的“Free”部分。通过一系列推导，可以利用已知的连续性约束来消除向量中重复的变量。这涉及到创建一个映射矩阵C，将一个变量映射到其重复出现的位置。接着，通过构造一个置换矩阵P，将向量d重新排列，使得已知和未知部分分别位于向量的两端。 2.1 消除重复变量 连续性约束意味着相邻轨迹段的末端状态应相同。通过映射矩阵C，可以确保这些连续性在约束方程中得以体现，从而消除重复变量。 2.2 向量元素置换 置换矩阵P的作用是将向量d中的已知部分移动到左侧，未知部分移动到右侧。通过选取相应的单位阵列列，可以构建P，确保向量d在求解过程中易于处理。 2.3 转换为无约束优化问题 经过以上步骤，原本的有约束优化问题转化为无约束优化问题。通过对目标函数关于自由变量的导数求零，可以找到最优解。这个过程通常涉及对拉格朗日乘子的处理，以及利用矩阵运算求解线性系统。 总结来说，Minimum Snap轨迹规划的闭式求解是一种高效的方法，它避免了使用QPsolver，而是通过矩阵运算直接求解。这种方法的关键在于正确构建约束方程，处理连续性约束，以及重新排列和优化向量d的结构。对于需要快速计算和精确轨迹规划的场合，这种方法具有显著的优势。"