卡尔曼滤波基础教程：电子信息工程中的应用

"卡尔曼(Kalman)滤波器课件是北京交通大学电子信息工程学院教师程轶平编写的，详细介绍了卡尔曼滤波器的基本原理和应用，适用于想要理解其工作原理的人士学习。" 卡尔曼滤波器是数学家Rudolf E. Kalman在1960年提出的一种用于随机动态系统的状态估计方法，它基于系统的状态空间模型，通过不断更新状态估计值来接近实际状态。卡尔曼滤波器的核心在于它是一种递推算法，能够处理线性（甚至部分非线性）动态系统，并且非常适合计算机实施。 滤波器的工作流程包括两个主要步骤：预测（prediction）和更新（update）。在预测阶段，根据上一时刻的状态估计和系统的动态模型，预测当前时刻的状态；在更新阶段，结合当前时刻的观测值，利用观测模型校正预测状态，得到更精确的状态估计。 系统模型通常表示为线性动态系统，其中，\( x_k \) 表示系统的状态，\( y_k \) 是可以直接观测到的量，\( u_k \) 是控制输入，\( w_k \) 和 \( v_k \) 分别是过程噪声和测量噪声。系统动态由矩阵 \( A \) 描述，控制输入影响由 \( B \) 矩阵表示，而噪声项则由 \( Q \) 和 \( R \) 矩阵刻画它们的统计特性。状态转移方程和观测方程可以表示为： \[ x_k = A x_{k-1} + B u_k + w_k \] \[ y_k = C x_k + v_k \] 卡尔曼滤波的目标是找到状态估计 \( \hat{x}_k \)，这个估计是基于所有过去的观测值 \( Y_k \) 的条件期望，同时它也是最优均方误差估计，即在所有可能的估计中，它的均方误差最小。 滤波器的主要公式包括状态预测更新和误差协方差更新，分别是： \[ \hat{x}_{k|k-1} = A \hat{x}_{k-1|k-1} + B u_k \] \[ P_{k|k-1} = A P_{k-1|k-1} A^T + Q \] \[ K_k = P_{k|k-1} C^T (C P_{k|k-1} C^T + R)^{-1} \] \[ \hat{x}_{k|k} = \hat{x}_{k|k-1} + K_k (y_k - C \hat{x}_{k|k-1}) \] \[ P_{k|k} = (I - K_k C) P_{k|k-1} \] 其中，\( K_k \) 是卡尔曼增益，它决定了如何结合预测状态和观测值来优化状态估计，\( I \) 是单位矩阵。 卡尔曼滤波器在众多领域都有应用，如航空航天、导航系统、信号处理、图像处理、自动驾驶等。由于其数学上的优雅性和实用性，它一直是解决动态系统状态估计问题的首选工具。虽然原始的卡尔曼滤波器适用于线性系统，但通过扩展如扩展卡尔曼滤波（EKF）和无迹卡尔曼滤波（UKF），它可以应用于非线性系统，使其应用范围更加广泛。