大连理工矩阵分析：向量范数计算与程序优化

在这个大连理工大学矩阵分析MATLAB上机作业中，主要讨论了如何利用MATLAB编程语言来计算向量的范数。范数是向量在不同标准下的长度或大小，对于一维向量x=(𝑥1,𝑥2,...,𝑥𝑛)𝑇，有三种常见的范数： 1. **绝对范数（L1范数）**：表示向量中所有元素绝对值之和，即||x||1 = ∑|𝑥𝑖|。在提供的MATLAB代码中，`norm(x,1)`函数用于计算L1范数。 2. **欧几里得范数（L2范数）**：也称为标准正态范数或能量范数，是向量元素平方和的平方根，即||x||2 = sqrt(∑𝑥𝑖^2)。代码中的`norm(x,2)`计算的就是这个范数。 3. **无穷范数（L∞范数）**：表示向量中最大元素的绝对值，即||x||∞ = max(|𝑥𝑖|)，`norm(x,inf)`用于计算。 对于给定向量y=(1,2,...,𝑛)𝑇，也进行了类似的范数计算。作业要求编写一个通用程序，用于计算给定向量x和y的这些范数。在提供的源代码中，首先定义了两个函数`norm_vector(n)`，分别处理向量x和y的范数计算。 函数`norm_vector(n)`首先初始化向量x为零向量，然后根据题目要求赋予特定的值（n=1/n）。接着，通过循环计算向量x和y的L1、L2和L∞范数，并将结果存储在向量`z1`和`z2`中。 作业还特别提到，当计算向量x的范数时，有两种不同的赋值方式：一是先降序赋值（1/n），二是升序赋值（1/(n-i+1)）。这两种方法分别用来演示不同赋值顺序对结果的影响。作业要求学生尝试计算不同规模（如n=10, 100, 1000，甚至更大）的向量范数，并观察结果的变化。 通过对比两种不同的赋值方式，学生可以观察到L1范数不受顺序影响，因为它只关心每个元素的绝对值，而L2范数会受到元素顺序的影响，因为平方后会放大较小元素的影响。无穷范数同样不受顺序影响，因为它总是取最大绝对值。 在实际应用中，为了提高计算精度，可以考虑使用MATLAB的内置函数，如`double()`或者`eps()`来控制计算的精度。然而，这并未在提供的代码中体现，但这是进一步优化程序的一个可能方向。完成这项作业可以帮助学生理解不同范数的概念以及如何在MATLAB中实现它们，同时也能提升他们的编程和问题解决能力。