图形变换数学基础：矩阵与二维变换

"本资源主要介绍了二维图形变换的数学基础，包括矢量、矩阵以及相关的运算，特别是如何利用这些数学工具进行图形变换。" 在计算机图形学中，二维图形变换是一个核心概念，它涉及到如何通过数学方法改变图形的位置、大小、形状和方向。本章节主要讨论的是二维图形变换，主要分为以下几个知识点： 1. **二维平面上点的表示法**： 在二维平面上，点通常用坐标(x, y)来表示。在图形变换中，我们关注的是顶点坐标的变化，这种变化通常通过对向量进行运算来实现。向量可以看作是从原点到点P的有向线段，其坐标即为(x, y)。 2. **图形变换的矩阵表示**： 矩阵在图形变换中扮演着关键角色。一对坐标(x, y)可以被看作是一个2维向量[x y]。点P(x, y)变换为P'(x', y')，可以用一个变换矩阵T乘以位置矢量矩阵 [x y]^T 来表示，即 [x' y']^T = T * [x y]^T。变换矩阵T包含了变换的具体规则，例如平移、旋转、缩放等。 3. **数学基础：矢量和矩阵运算**： - **矢量**：在二维空间中，矢量通常由它的方向和大小来定义，例如(u, v)。矢量的运算包括矢量加法、数乘、点积和叉积。 - **矢量的加法**：两个矢量相加，对应坐标相加，如(a, b) + (c, d) = (a+c, b+d)。 - **矢量的数乘**：一个数k乘以矢量，将每个分量都乘以k，如k*(a, b) = (ka, kb)。 - **矢量的点积**：两个矢量的点积等于它们对应分量的乘积之和，同时可以用来计算夹角和投影，如U·V = |U||V|cosθ。 - **矢量的叉积**：叉积结果是一个新的矢量，其大小等于两矢量构成的平行四边形的面积，方向遵循右手定则。 4. **矩阵**： 矩阵是由m行n列的数字组成的一个整体，记作m×n矩阵。矩阵的加法和数乘运算与向量类似，矩阵的乘法规则更为复杂，涉及到线性组合的概念。 5. **矩阵运算**： - **矩阵加法**：相同维度的矩阵可以直接相加，对应元素相加。 - **数乘矩阵**：一个数k乘以矩阵A，就是将矩阵A的每个元素都乘以k。 通过上述数学工具，我们可以精确地描述和执行各种二维图形变换，如平移、旋转、缩放和斜切等。这些变换在游戏开发、图像处理、计算机辅助设计等领域有着广泛应用。理解并掌握这些基本概念和运算，是深入学习图形学不可或缺的基础。