双归纳结构语义学：程序的有限与无限行为分析

"这篇论文探讨了双归纳结构语义学，一种将集合论归纳定义扩展到涵盖归纳、共归纳和双归纳定义的方法，用于描述程序的有限和无限行为。通过抽象保持，这种方法允许结构操作语义（SOS）同时表述程序的终止和发散状态。文章特别关注了在按值调用λ-演算的小步和大步跟踪/关系/操作语义上的应用。" 在理论计算机科学中，归纳定义和共归纳定义是两种重要的概念。归纳定义通常用来描述系统的构造过程，如计算的终止状态，而共归纳定义则关注于系统的不可构造部分，即无止尽的行为。双归纳定义则是两者的结合，它可以同时处理有限和无限状态的系统。论文提出了一种推广的集合论归纳定义，旨在统一这两种方法，这对于理解和建模复杂计算系统，尤其是那些可能出现发散行为的系统，是非常有价值的。 结构操作语义（SOS）是一种形式化程序语义的方法，它通过规则集来描述程序的行为。在SOS中，程序的执行被分解为一系列微小的步骤，这些步骤可以是小步（精细的局部变化）或大步（更宏观的操作）。通过引入双归纳结构语义学，SOS能够表达程序既可能终止也可能发散的性质，这对于分析程序的完整行为至关重要。 论文中举了一个选择运算符E1E2的例子，该运算符可以有两个可能的结果：E1或E2的终止值，或者不终止。不确定性语义指的是在评估时选择其中一个分支，而并行语义则是同时计算两个分支并返回首个完成的结果。这两个例子展示了如何利用双归纳结构语义来刻画不同的行为模式。 此外，论文还提到了定点定义，这是归纳和共归纳定义的一个关键概念。定点是满足某种条件的最小元素，对于归纳定义，它是构造序列的最终结果；对于共归纳定义，它对应于无法从其他元素构造的元素。这些定义在λ-演算中的应用，特别是按值调用的情况，揭示了计算过程的动态特性。 这篇论文通过引入双归纳结构语义学，提供了对程序行为更全面的描述，不仅覆盖了有限和有界的计算，还涵盖了可能无限的行为，这对形式化验证、程序分析和编译器设计等领域有着深远的影响。