半群与群：陪集、拉格朗日定理与学习要求详解

本节内容主要围绕半群与群的相关知识点展开，针对大学本科生计算机科学专业的离散数学课程进行讲解。首先，章节11.1介绍了半群和独异点的概念，它们是代数系统中具有二元运算的结构，其中半群要求运算可结合，而独异点则包含一个单位元，使得运算更进一步。举例说明了各种常见的半群和独异点，如整数集合、矩阵、集合的对称差、模n加法以及函数复合等，这些都遵循特定的幂运算规则。 在半群中，元素的幂可以通过可结合性定义，并证明了幂运算的封闭性和指数法则。而在独异点中，除了半群的幂运算，还引入了零次幂的概念，定义为任何元素与单位元的乘积，这也符合幂运算的一般规则。 接着，章节深入探讨了群的定义与性质，这是半群的扩展，群不仅要求运算可结合且存在单位元，还需满足结合律和逆元的存在。11.3部分讨论了子群的概念，即群中具有封闭性的子集，以及如何确定群的子群。11.4介绍了陪集，它是群的重要概念，指在群G中对于某个子群H，所有属于G但不在H的元素的集合。陪集的定义、与代表元素的关系以及其四个基本性质是本节的重点内容，理解陪集有助于理解群的结构。 拉格朗日定理是群论中的基石之一，指出有限群G的阶（元素个数）等于其子群H的阶除以H在G中的指数[G:H]，并给出了两个推论。这部分内容旨在帮助学生掌握群的结构特征，并能运用拉格朗日定理解决实际问题。 此外，11.5讨论了正规子群和商群的概念，前者是子群H满足H=H^(-1)H的特殊性质，后者则是通过商集和等价关系与原群的划分联系起来。11.6则涵盖了群的同态和同构，这两个概念是研究群之间关系的重要工具，特别是当两个群有相似结构时。 最后，11.7介绍了循环群和置换群，它们是群的特定类型，对于理解和应用群论有着关键作用。本章通过例题选讲和作业，确保学生能够熟练掌握并应用所学的知识。 这一章节内容丰富，从基本概念如半群和群，到高级概念如陪集、拉格朗日定理和群的构造，旨在为学生提供坚实的理论基础，以便他们在后续的学习和研究中能够自如地运用群论的知识。