雅克比、高斯-塞得尔与SOR方法：求解线性方程组详解

本文档主要探讨了在Java编程环境下，如何使用雅克比（Jacobi）、高斯-塞得尔（Gauss-Seidel）以及斯蒂夫列夫-奥列尔斯（Successive Overrelaxation, SOR）三种迭代方法求解线性方程组。以下是详细的内容概述： 1. **雅克比方法（Jacobi Method）**: 雅克比方法是一种简单直接的数值解法，适用于矩阵是对角占优的系统。在这个Java程序中，它用于初始化变量 `x1` 的值，其中 `x1` 是线性方程组的一个近似解。在循环过程中，对于每个未知数 `x[i]`，只考虑对角线上的元素，其他元素的影响忽略不计。 2. **高斯-塞得尔方法（Gauss-Seidel Method）**: 高斯-塞得尔方法改进了雅克比方法，每次迭代时不仅使用当前的值，还会用到前一步计算的值。程序中的变量 `x2` 初始化为 `true` 表示采用该方法。在循环内，如果 `j` 小于 `i`（即更新 `x[j]`），则使用 `x1` 的当前值；如果 `j` 大于 `i`，则使用 `x2` 的当前值，从而逐步改进解的精度。 3. **斯蒂夫列夫-奥列尔斯方法（SOR Method）**: SOR 方法是高斯-塞得尔方法的一种变种，通过引入松弛因子 `ω`（通常在0到2之间）来控制迭代过程的收敛速度。在提供的代码片段中，没有明确给出松弛因子 `ω`，但提到当 `x22` 为 `true` 时，使用 `(b[i]-temp)/a[i][i]` 更新 `x2[i]`，这表明可能是在进行SOR迭代步骤。这里的 `temp` 变量会包含所有元素的加权和，包括邻接元素的影响。 总结，这段代码实现了一个通用的线性方程组求解器，允许用户输入系数矩阵 `a` 和常数项 `b`，然后通过选择不同的迭代方法（默认为高斯-塞得尔）来逐步逼近解。理解这些方法的关键在于它们在迭代过程中对矩阵元素的不同处理方式，雅克比仅考虑对角，高斯-塞得尔同时考虑临近，而SOR则在两者间引入了动态调整的策略。为了完整实现SOR方法，还需要确定合适的松弛因子 `ω` 并应用其到迭代公式中。