鸢尾花数据分析：主成分与线性判别结合高斯模型

"这篇数理统计的大作业主要探讨了鸢尾花数据集的分析，运用了马氏距离、混合高斯模型、主成分分析、线性判别分析以及刀切法（留一法）等统计学方法。鸢尾花数据集是多变量分析的经典案例，由Fisher于1936年创建，包含150个样本，分为3个类别，每个类别有50个样本，每个样本有4个特征：花萼长度、花萼宽度、花瓣长度和花瓣宽度。作业中，作者首先介绍了主成分分析（PCA），这是一种将相关变量转换为不相关主成分的降维技术，由Karl Pearson于1901年提出。接着，讨论了Fisher的线性判别分析（LDA），它在保留类别信息的同时进行降维，尤其适用于有标签的数据。此外，还引入了混合高斯模型（GMM），该模型在聚类任务中优于k-均值，因为它考虑了不同维度的方差和相关性。最后，使用刀切法评估了不同降维方法的效果。" 在本次分析中，鸢尾花数据集被用来测试和比较不同的数理统计方法。首先，主成分分析用于降低数据的复杂性，通过正交变换将原始的4个特征转换为新的不相关特征，即主成分。这一过程有助于减少数据冗余，同时保持大部分数据信息。PCA不仅简化了数据，还可以发现数据的主要结构。 接着，线性判别分析在PCA的基础上进一步优化，尤其适用于分类问题。LDA的目标是最大化类间距离，同时最小化类内距离，因此在鸢尾花分类中可能比PCA提供更优的结果。LDA不仅考虑了特征之间的线性关系，还考虑了类别信息，这使得它在有标签数据的处理上更为强大。 混合高斯模型在聚类分析中展示了其优势。与k-均值方法相比，GMM假设数据来自于多个高斯分布的组合，每个分布代表一个类别。这种方法可以适应不同维度的方差和特征间的相关性，提高了聚类的准确性。 刀切法，又称留一法，是一种交叉验证技术，用于评估模型的泛化能力。在这个作业中，它被用来比较不同降维方法的效果，通过每次保留一个样本进行测试，其他样本用于训练，以此循环，来估算模型的性能。 这篇大作业深入探讨了如何利用数理统计工具对鸢尾花数据进行分析，展示了PCA、LDA、GMM和留一法在实际问题中的应用和比较。这些方法在数据预处理、特征选择、模型构建和性能评估中都发挥着关键作用，对于理解和改进机器学习模型的性能具有重要意义。