凝聚函数拟凸与伪凸性质研究：充分条件分析

"这篇论文是2012年由陈嘉、王纯杰、谭佳伟、赵嘉琦和刘庆怀发表在《吉林大学学报（理学版）》第50卷第3期上的，主要研究的是凝聚函数在拟凸性和伪凸性方面的充分条件。论文探讨了函数之间的‘同定’和‘同序’两种关系，并在此基础上证明了这些关系如何保持凝聚后的函数仍然具有原有的拟凸或伪凸特性。关键词包括优化、凝聚函数、拟凸函数和伪凸函数，分类号为O221.2，文献标志码为A，文章编号为1671-5489(2012)03-0467-05。" 在优化理论中，拟凸函数和伪凸函数是两种重要的函数类型，它们在解决非线性优化问题时有着广泛的应用。拟凸函数是介于凸函数和一般非凸函数之间的一类函数，它允许局部最优解但保证全局最优解仍然在所有局部最优解的集合中。而伪凸函数则是一种更为宽松的定义，它不一定满足凸性的严格定义，但在某些条件下，函数的最小值点集是单点，从而保证了全局最优解的存在。 在论文中，作者首先定义了两个新的函数关系——“同定”和“同序”。同定关系指的是两个函数在某个区间内有相同的正定性，即它们的梯度方向一致。同序关系则表示函数的单调性相同，即一个函数的增区间对应另一个函数的增区间，减区间对应减区间。这两个关系是分析函数性质的基础。 接着，作者深入探讨了这两种关系的性质，如它们如何影响函数的局部极小值和全局极小值。在充分理解了这两种关系的性质之后，他们提出了一个关键的论断：如果一组函数满足“同定”关系且都是拟凸函数，那么它们的凝聚函数（即这些函数的某种组合，例如加权和或乘积）也将保持拟凸性。同样，如果满足“同序”关系且都是伪凸函数，凝聚后的函数也会保持伪凸性。 这一发现对于优化算法的设计和分析具有重要意义，因为它提供了在处理多目标或复合优化问题时保持某些凸性属性的方法。在实际应用中，如工程设计、经济模型和机器学习等领域，这样的结果有助于构造更有效的优化策略，保证所得到的解决方案至少是全局最优解的一个候选。 这篇论文通过深入研究函数的“同定”和“同序”关系，揭示了凝聚函数保持拟凸性和伪凸性的充分条件，为非线性优化理论提供了一种新的理解和工具。这一成果对于优化问题的理论研究和实际应用都具有积极的促进作用。