椭圆曲线密码学基础：加法与点运算

"椭圆曲线密码学是一种基于椭圆曲线理论的加密技术，由Miller和Koblitz在20世纪80年代中期提出。这种密码系统利用了椭圆曲线上的数学特性，提供了与传统加密算法如RSA相比更高的安全性，但所需的密钥长度更短。椭圆曲线在密码学中的应用近年来得到了广泛的关注和采用。 椭圆曲线的基本定义是：在实数域上，椭圆曲线是一组满足方程 \( y^2 = x^3 + Ax + B \) 的点(x, y)，其中A和B是实数，且曲线必须是非奇异的，即满足 \( 4A^3 + 27B^2 \neq 0 \)。例如，曲线 \( y^2 = x^3 - 3x + 3 \) 就是一个非奇异的椭圆曲线。 在椭圆曲线上，两个点P和Q的和P+Q可以通过特定的算法计算得出。设点P=(x_P, y_P)和Q=(x_Q, y_Q)，则P+Q的坐标可以表示为(x_R, -y_R)，其中 \(\alpha = \frac{y_Q - y_P}{x_Q - x_P}\)，接着计算 \( x_R = \alpha^2 - x_P - x_Q \) 和 \( y_R = y_P + \alpha(x_R - x_P) \)。例如，对于曲线 \( y^2 = x^3 + 7 \)，点P和Q的坐标分别为(-4, -2)和(2, 4)，它们的和R就是P+Q的结果。 对于点P的二倍2P，其计算方式略有不同。如果点P=(x_P, y_P)在椭圆曲线E上，那么2P=(x_R, -y_R)，其中 \(\alpha = \frac{3x_P^2 + A}{2y_P} \)，接着计算 \( x_R = \alpha^2 - 2x_P \) 和 \( y_R = y_P + \alpha(x_R - x_P) \)。例如，对于曲线 \( y^2 = x^3 + 3x + 5 \) 上的点P=(-1, 1)，计算得到2P的坐标为(11, -37)。 在离散的椭圆曲线中，我们通常考虑模一个质数p的运算，即所有满足 \( y^2 = x^3 + Ax + B \) (mod p) 的整数点(x, y)的集合，其中A和B属于 [0, p-1] 范围，且 \( 4A^3 + 27B^2 \neq 0 \) (mod p)。例如，考虑椭圆曲线 \( y^2 = x^3 + 16x + 14 \) (mod 23)，我们可以找到所有满足该条件的点对(x, y)。 椭圆曲线密码学的安全性基于计算椭圆曲线上的离散对数问题的难度，这是已知的计算难题。Alice可以选取一个秘密的椭圆曲线点作为她的私钥，并根据该点计算出一个公钥，其他人只能通过公钥进行加密，而无法轻易地推导出私钥。这种机制在现代安全通信和数字签名中扮演着关键角色。 总结来说，椭圆曲线密码学是一种高效且安全的加密技术，它利用了椭圆曲线上的数学性质，通过特定的加法运算定义了点的组合，并且在模p的环境下扩展了这一概念。它的应用包括但不限于密钥交换、数字签名和身份验证，是现代密码学的重要组成部分。"