卡尔曼滤波与扩展：从起源到应用

"扩展卡尔曼滤波的起源、发展和应用" 卡尔曼滤波，由匈牙利数学家鲁本·卡尔曼在1960年提出，最初是为了解决离散数据线性滤波问题的递推算法。这一创新在当时并未立即引起广泛注意，直到斯坦利·施密特在NASA的应用才将其推向了高潮，特别是在阿波罗登月计划中，卡尔曼滤波器被用于精确的轨道预测，展示了其在复杂系统中的强大能力。相关的理论工作由Swerling (1958), Kalman (1960), 和 Kalman & Bucy (1961) 等人进一步发展和完善。 然而，卡尔曼滤波器的基本假设——系统的线性和噪声的高斯分布，限制了其在现实世界的广泛应用。为了克服这些限制，扩展卡尔曼滤波（EKF）应运而生。EKF的核心思想是对非线性系统进行局部线性化，即在当前状态估计的附近对非线性函数进行泰勒展开，以近似表示非线性系统的行为。尽管这种方法增加了卡尔曼滤波器的适用性，但线性化的误差可能在处理高度非线性问题时变得显著。 线性化卡尔曼滤波器（LFK）是另一种非线性卡尔曼滤波方法，它与EKF的区别在于线性化的参考点不同。LFK在期望的系统轨迹上进行线性化，而非在当前状态估计上，这使得它更适合于那些能够预知非线性系统大致行为的情况。 不敏卡尔曼滤波器（UKF）则采取了不同的策略来处理非线性问题。UKF使用非线性变换后的高斯随机变量的不敏变换来近似概率分布，而不是直接进行线性化。通过生成一组样点并赋予权重，UKF能更全面地描述系统状态向量的估计分布，避免了EKF中线性化带来的误差。 多态自适应（MMA）卡尔曼滤波器是另一类重要的滤波器，它可以根据系统的动态特性自适应地调整滤波参数，以提高滤波性能。MMA-KF特别适用于那些系统模型随时间变化或者存在未知参数的场合。 卡尔曼滤波及其变种如EKF、LFK、UKF和MMA-KF，为处理不同复杂程度的滤波问题提供了强大的工具。它们广泛应用于航空航天、自动驾驶、机器人定位、信号处理、控制系统等多个领域，是现代工程和科学计算中不可或缺的一部分。