地理信息系统中的线段相交判断算法

"这篇内容主要介绍了计算几何中的几种常用算法，特别是如何判断线段是否相交，对于地理信息系统（GIS）的学习者具有很高的实用价值。文章提供了一个在计算几何库中的函数实现，该函数考虑了特殊情况，如线段共线且在端点相交，并通过矢量叉乘来判断线段的相对位置。" 在GIS领域，计算几何算法是非常关键的一部分，因为它们用于处理地理空间数据的分析和操作。本文提及的"判断线段相交"问题是一个基础但重要的问题，它涉及到二维平面上两条线段的位置关系。以下是这个算法的详细说明： 首先，函数通过比较线段的端点坐标来快速排除不相交的情况。如果线段u的两个端点都在线段v的左侧或右侧，或者线段v的两个端点都在线段u的左侧或右侧，那么这两条线段就不会相交。这一步检查的是以线段为对角线的矩形是否相交，即： ```cpp (max(u.a.x, u.b.x) >= min(v.a.x, v.b.x)) && (max(v.a.x, v.b.x) >= min(u.a.x, u.b.x)) && (max(u.a.y, u.b.y) >= min(v.a.y, v.b.y)) && (max(v.a.y, v.b.y) >= min(u.a.y, u.b.y)) ``` 接下来，为了判断线段是否相互跨越，即是否存在一个交点，可以使用矢量叉乘。矢量叉乘的结果是一个标量，其符号可以指示两个向量的方向关系。在二维空间中，如果两个向量的叉积为正，那么这两个向量呈顺时针排列；为负，则呈逆时针排列；为零，表示两向量共线。 给定的`multiply`函数计算的是向量(p1-p0)与(p2-p0)的叉积： ```cpp float multiply(TPoint p1, TPoint p2, TPoint p0) { return ((p1.x - p0.x) * (p2.y - p0.y) - (p2.x - p0.x) * (p1.y - p0.y)); } ``` 在判断线段相交时，计算线段u的端点b到线段v的端点a的叉积，再计算线段v的端点b到线段u的端点a的叉积，如果这两个叉积的乘积非负，那么线段u和v相交： ```cpp (multiply(v.a, u.b, u.a) * multiply(u.b, v.b, u.a) >= 0) ``` 这个条件确保了线段的转向是相同的，也就是说，如果线段u从u.a到u.b是沿着v.a到v.b的左侧或右侧移动，那么线段v从v.a到v.b也是沿着u.a到u.b的相同侧移动，这表明两者有交点。 这个算法首先通过矩形相交的快速检验排除大部分不可能相交的情况，然后通过矢量叉乘来判断线段的相对位置，确保线段的转向一致。这个方法既有效率，又考虑了线段共线的特殊情况，是解决线段相交问题的一个经典方法。