中山大学数值计算方法期末试卷及答案

"中山大学《数值计算方法》期末考试试卷包含了解答，涵盖了数值计算方法的相关概念和计算公式。" 这篇试卷主要考察了学生对数值计算方法的理解和应用能力，涉及多个关键知识点： 1. 梯形求积公式：这是一种数值积分的方法，通过将曲线下的面积分割成一系列梯形来估算积分值。 2. 直线拟合：试题中提到了三点A(0,1), B(1,3), C(2,2)，要求拟合一条直线，这通常通过最小二乘法或通过找到经过这三个点的唯一二次贝塞尔曲线来实现。 3. 误差分类：误差可以分为绝对误差、相对误差、舍入误差和截断误差等。 4. 数值的有效数字：指在表示一个数时，从第一个非零数字开始到数字末尾的所有数字，包括前导零和尾随零。 5. 拉格朗日线性插值：这是一种在给定点间插值的方法，用于找到一个多项式函数，使该函数在每个给定点上的值都与实际值匹配。 6. 差商：是函数在某一点的局部变化率的一种度量，类似于导数的概念，但适用于离散数据。 7. 牛顿迭代法：是一种寻找函数零点的数值方法，其格式为\( x_{k+1} = x_k - f(x_k)/f'(x_k) \)，收敛阶通常是2。 8. 矩阵范数：题目中提到了矩阵的无穷范数和1范数，它们分别衡量矩阵所有列向量和行向量的模的最大值。 9. 差商与差分的关系：差分是差商的离散版本，两者在连续和离散数学中有密切联系。 10. 牛顿迭代法求方程的根：适用于求解非线性方程，迭代格式为\( x_{k+1} = x_k - [f(x_k)]/f'(x_k) \)。 11. 计算精度与误差限：在计算球体积时，为了保持1%的相对误差限，需要对半径的测量精度有相应要求。 12. 雅克比迭代法和高斯-塞德尔迭代法：都是用于求解线性系统的迭代方法，后者比前者更快收敛，因为更新每一项时考虑了后面的项。 13. 相对误差限与有效数字的关系：有效数字的数量决定了可接受的最大相对误差。 14. 实根的近似：通过数值方法如二分法或牛顿法找到方程\( 3x^3 - 6x^2 + 3x - 0 = 0 \)在[1,2]区间内的实根。 15. 高阶差商：例如\( [2]_2^\ell f \)表示在x处的二阶向前差商，用于逼近函数的二阶导数。 这些知识点涵盖了数值计算中的基础概念，包括数值积分、插值、误差分析、矩阵理论以及迭代法求解方程等内容，是数值计算方法课程的核心内容。