A*算法详解：启发式搜索与最短路径估计

"A*算法的灵通性-启发式搜索" A*算法是启发式搜索的一种，它在解决路径寻找、游戏AI、图形学等领域有着广泛的应用。算法的核心在于结合了实际路径代价（g(n)）和启发式估计（h(n)）来评估节点的重要性，以更高效地找到最优路径。在描述中提到，A*算法的灵通性是指如果对于所有非目标节点，h1 < h2，那么使用h2作为启发式的A2算法会比使用h1的A1算法更灵通，也就是说，A2会先扩展出更接近目标的节点。 定理二进一步说明了A2的灵通性优势，它保证了在任何情况下，只要存在一条从初始节点到目标的路径，A2在搜索结束时扩展过的节点，A1也一定扩展过。这意味着A2不会错过A1能发现的任何有效路径，而且通常能找到更短的路径。 启发式搜索的关键在于启发式函数h(n)，它提供了对目标距离的估计，但必须遵循两个基本条件：一是非负性（h(n) >= 0），二是admissibility（低估性质），即h(n)不会超过从节点n到目标的实际路径长度。A*算法通过f(n) = g(n) + h(n)来决定节点的优先级，其中g(n)是已探索路径的实际代价。f(n)越小，表示该路径越可能是最短路径，因此优先级越高。 在搜索过程中，A*算法维护两个列表：开放表（Open List）和关闭表（Closed List）。开放表存储待处理的节点，而关闭表记录已处理过的节点。搜索从初始节点开始，每次选择f值最小的节点进行扩展，并更新其子节点的g和f值。当开放表为空或找到目标节点时，搜索结束。 A*算法的伪代码大致如下： 1. 初始化开放表和关闭表为空，设置初始状态结点s。 2. 计算f(s) = g(s) + h(s)，并将s加入开放表。 3. 若开放表为空，表示无路径可走，搜索失败。 4. 否则，从开放表中取出f值最小的节点n，将其移入关闭表。 5. 如果n是目标节点，搜索成功，返回解决方案。 6. 对于n的每个子节点mi，应用操作符Opi计算新路径代价g(mi)，并更新f(mi)。 7. 如果mi不在关闭表中且未在开放表中，将mi加入开放表。 8. 如果mi已在开放表中，检查新路径是否更优，如果是，则更新其g和f值。 A*算法的优势在于其效率和准确性之间的平衡，通过启发式函数减少了不必要的节点扩展，同时保证了找到最优解。不过，启发式函数的选择和质量对算法性能有很大影响，一个好的启发式函数能显著提高搜索效率，如曼哈顿距离或欧几里得距离在特定问题中就非常有效。A*算法是启发式搜索领域的一个强大工具，广泛应用于各种需要路径规划的问题。