工程活动的图论模型：PERT图与关键路径问题详解

在本讲义中，主要讨论的是工程管理中的图论应用，特别是如何通过图论模型来分析和优化复杂的工程项目。一个工程被分解为一系列相互独立的活动，这些活动被称为工序，它们之间的逻辑关系用事项来表示，即紧前工序和紧后工序的交界点。这些关系在图论中通过有向图G=(V,E)的形式呈现，其中顶点V代表事项，有向边E表示工序的顺序。每个工序的开始和结束用顶点的起点和终点来标记，整个工程的起点和终点则分别用特殊的顶点表示。 PERT图，全称为Program Evaluation and Review Technique，是一种项目管理工具，通过这种图可以直观地识别关键路径，即决定项目完成时间最长的一系列工序。关键路径问题涉及到如何确定影响工程进度的关键工序，以便合理安排资源和时间，确保工程按时完成。 图论在这部分内容中发挥了重要作用，涉及以下几个主题： 1. **基本概念**：首先介绍了图的基本定义，包括顶点（结点）、边以及有向图、无向图和混合图的概念。有限图和不同类型的图也被讨论。 2. **最短路与最小生成树**：尽管这部分未具体提及，但可能涉及图论中的最短路径算法（如Dijkstra算法或Floyd-Warshall算法），以及如何通过最小生成树找出在无向图中最优的连通子集，这对于工程中的资源分配和路径规划至关重要。 3. **二部图的匹配**：这可能指的是二部图中最大匹配的概念，即在一个顶点集合分成两部分的图中找到最多的配对，这对于工程中的任务分配和资源协调有实际意义。 4. **网络流**：网络流理论在工程问题中用于分析流经网络的流量，可能包括最大流和最小割等问题，这有助于理解和优化工程中的物流和信息流。 5. **经典图论问题**：例如哥尼斯堡七桥问题、哈密顿圈（环球旅行游戏）和四色问题，这些问题展示了图论在解决实际问题中的应用和理论挑战。七桥问题涉及图的偶数度性质，哈密顿圈探讨了遍历所有顶点的问题，而四色问题则证明了平面地图着色的最小颜色数。 6. **关键路径问题**：这是主要内容，通过图论方法找出项目中关键工序及其对工程总时程的影响，帮助管理者做出决策，确保工程进度和成本控制。 总结来说，这份讲义深入浅出地介绍了图论在工程管理中的实际应用，从基本概念到复杂问题的解决策略，为理解工程项目的规划、调度和优化提供了强有力的工具。