总体CG方法的多右端线性方程组残量分析

本文主要探讨了"多右端线性方程组总体CG方法的残量分析"这一主题，针对的是对称正定多右端大型线性方程组的高效求解策略。总体CG方法，由Salkuyeh在2006年提出，是一种改进的块共轭梯度法，旨在解决m个右端项线性方程组AX=B，其中A为n阶对称正定矩阵，m远小于n。常规的块共轭梯度法可能会因列线性相关问题而中断，而总体CG方法则通过引入新的矩阵内积和外积的概念，提高了算法的稳定性。 作者高景利基于矩阵Schur补的定义和性质，给出了总体CG方法在第k步求解过程中的解以及残量的精确表达式。Schur补在这里起到了关键作用，它允许对原问题进行分解和处理，从而简化了求解步骤。引理1和引理2进一步阐述了Schur补的一些基本性质，这些性质对于理解总体CG方法的理论基础至关重要。 具体来说，Schur补定义了矩阵在另一个矩阵中的替换形式，如(M1/D)表示A在D的替换下的矩阵形式。通过引理，我们可以看到Schur补的交换性和与矩阵乘法的关系，这对于残量分析和算法的推导有着直接的影响。 本文的核心成果是提供了总体CG方法残量的F-范数的精确表达式，这涉及到Kronecker积的性质，这是一种用于表示两个矩阵张量积的工具，对于量化残量的大小和评估算法收敛性非常有用。 总结来说，本文深入研究了总体CG方法在处理对称正定多右端大型线性方程组时的残量分析，为理解和优化此类方程组的数值求解提供了重要的理论支持。通过Schur补和Kronecker积的巧妙应用，本文不仅改进了算法的性能，还为类似问题的数值分析提供了新的见解和技术路线。