Rabinowitz鞍点定理：非对称奇异哈密顿系统的新周期解

Rabinowitz鞍点定理在研究奇异哈密顿系统中的应用及其周期解 在本文中，作者张世清专注于运用Rabinowitz鞍点定理来探讨一类无任何对称性的奇异二阶哈密顿系统中的周期解问题。这类系统由以下形式的二阶微分方程定义：对于\( u(t) \in \Omega = \mathbb{R}^N \setminus \{0\} (N \geq 3) \)，其中\( V(t, \cdot): \mathbb{R} \times \Omega \rightarrow \mathbb{R} \)是C1连续函数，研究的是寻找满足特定周期的解\( u(t) \)，满足方程： \[ \ddot{u} = -V'(t, u(t)) \] Gordon在1975年和1977年首次利用变分法研究了二维双体问题中的周期解，随后在1980年代至1990年代，Ambrosetti-Coti Zelati、Bahri-Rabinowitz、Greco等学者扩展了这一研究，他们不仅关注平面问题，还涉及到了更高维度空间\( \mathbb{R}^N \)（N≥3）的双体问题。 关键挑战在于证明在无对称性情况下满足Palais-Smale（PS）+条件，这是运用Rabinowitz鞍点定理确保存在周期解的关键步骤。PS+条件要求序列解在能量上是局部极小值点且其能量收敛，这对于不具对称性的系统而言更具挑战性，因为对称性通常可以简化问题的分析。 Rabinowitz的鞍点定理是此类问题的强大工具，它结合了变分方法和泛函分析的原理，允许我们在没有对称性的限制下探索非平凡解的存在。本文的工作不仅贡献了对奇异哈密顿系统的新理解，而且拓宽了我们对这些系统周期解结构的认识，尤其是在没有明显对称性的复杂环境中。 数学主题分类方面，本文属于1991年的34C15（偏微分方程的周期解）、34C25（无穷维哈密顿系统的动力学）以及58F（泛函分析中的变分方法）。通过解决这个理论问题，张世清的研究对于推动相关领域的发展具有重要意义，并可能启发更多的研究者去探索此类系统的更多性质。