北师大版高中数学：平面向量单元练习与解析

"2019年北师大版必修四第二章平面向量单元练习题" 本套练习题主要涵盖了高中数学中的平面向量知识，包括向量的基本概念、向量的数量积、向量的几何意义以及向量在解决几何问题中的应用。下面将详细解析部分题目，以帮助理解相关知识点。 1. 题目涉及到圆的标准方程及直线与圆的位置关系。点P在直线3y = x + 1上，圆C的方程为(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 2^2，表示圆心C(1, 1)，半径为2。PAPB的最小值实质上是圆上的点到直线的最短距离减去半径，即圆心到直线的距离减去半径。 2. 向量的夹角和数量积问题。已知向量a与b的夹角为135度，且|a| = 1，|2a| = 2，求|b|。根据向量数量积的定义，a·b = |a||b|cosθ，可以求解出b的模。 3. 向量的模长和数量积。已知|a| = 1，|a + b| = 1，求|2a + a + b|。利用向量的线性运算和模长的性质，可推导出2a + a + b的模。 4. 双曲线的离心率和渐近线。离心率e = c/a = sqrt(1 + b^2/a^2)，由题意e = sqrt(2)，可以求得a和b的关系，然后利用渐近线方程y = ±b/a * x，计算点(4, 0)到渐近线的距离。 5. 向量的加法和垂直关系。非零向量a，b满足a + b = a × b，这里×表示向量的叉乘，说明a与b垂直，因为a × b的模长等于|a||b|sinθ，θ为a，b的夹角，而题目中θ=90度。 6. 矩形ABCD中的向量问题。动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，AP = AB + AD，求AP的最大值。这涉及到向量的合成和圆的性质，当P位于圆与BD的切点时，AP取得最大值。 7. 向量的线性组合和模长。已知向量条件，利用向量的模长公式和线性组合的性质求解m。 8. 三角形中的中位线和向量。AD是BC边上的中线，E是AD的中点，要求EB与向量AB和AC的关系。利用中位线性质和向量的线性运算，可以得出EB与AB和AC的关系。 9. 向量的模长和数量积。已知向量a与b的夹角和各自的模长，利用模长的平方等于向量自身的平方和两向量数量积的两倍，求解(a + 2b)的模长。 10. 向量的垂直关系。向量a + b与a垂直，意味着它们的数量积为0，通过这个条件可以解出m的值。 11. 三角形中的比例和向量。题目涉及三角形的中点、线段比和向量的线性组合，需要用到相似三角形或向量的比例性质来求解AB/AC的值。 12. 向量的夹角。通过向量的坐标和它们的和的坐标，可以利用向量的夹角公式cosθ = (a·b) / (|a||b|)来求解cos值。 13. 解答题通常包含多个小问，这里涉及三角形的边长、面积和内角的关系，可能需要使用正弦定理、余弦定理或海伦公式来解答。 这些题目覆盖了平面向量的多个核心概念，如向量的加法、减法、数量积、向量的模长、夹角、垂直和平行关系，以及向量在几何问题中的应用。学生通过练习这些题目，可以加深对向量的理解，并提高解决实际问题的能力。