非线性最小二乘拟合算法：从优选法到广义逆矩阵

"非线性最小二乘拟合的计算方法是解决工程中常见的非线性拟合问题的一种算法，通常用于数据建模和数据分析。本文由邢书珍和邢天奇在《中国铁道科学》中发表，提出了一个两步计算方法，首先通过优选法确定非线性参数，然后利用线性回归或广义逆矩阵理论计算线性参数。这种方法允许迭代初值任意选取，并能确保迭代过程始终收敛。" 非线性最小二乘拟合是一种优化技术，主要用于寻找一组参数，使得模型预测值与观测数据之间的残差平方和最小。在实际工程问题中，如铁路路基容重和容重计数比的关系、疲劳寿命曲线等，往往不能直接转化为线性模型进行拟合。非线性最小二乘拟合提供了解决这类问题的有效途径。 文章中提到的算法分为两个主要步骤： 1. **优选法求解非线性参数**：优选法是一种迭代优化方法，它通过不断调整参数来逼近最优解。在非线性最小二乘问题中，优选法被用来寻找使残差平方和最小的非线性参数值。由于非线性问题的复杂性，直接求解通常很困难，但优选法可以逐步逼近真实参数，即使初始值选取任意，也能保证迭代过程收敛。 2. **计算线性参数**：对于三参数曲线，可以采用线性回归分析来确定线性参数。线性回归是一种统计方法，用于找出因变量与一个或多个自变量之间的最佳线性关系。而对于多参数曲线，文章建议使用广义逆矩阵理论。广义逆矩阵是在矩阵不具备逆矩阵条件下的一个扩展概念，它可以用来解决矩阵不满秩或者非方阵的情况，从而求解非线性拟合中的线性参数。 传统的方法，如牛顿-拉弗森法或高斯-牛顿法，可能面临迭代过程发散的问题，特别是在初始值选取不佳时。文章指出，这种发散现象在工程实践中是常见问题，导致计算结果远离真实值。因此，本文提出的算法旨在提供一种更稳定的计算方法，确保在各种条件下都能有效地收敛到真实的参数值，简化非线性模型的计算过程，提高工程应用的效率。 非线性最小二乘拟合的计算方法是解决实际工程问题中的关键工具，尤其是那些不能直接转换为线性模型的问题。邢书珍和邢天奇的算法提供了一种高效且可靠的计算策略，不仅能够处理多参数曲线的拟合，还能够避免传统方法可能出现的迭代不收敛问题。这对于提升工程技术人员的数据分析能力具有重要意义。