动态规划初步：最低通行费问题与斐波那契数列

"该资源是一本关于动态规划的初步教程，着重讲解了动态规划的基本概念、方法和应用。文中通过实例介绍了如何运用动态规划解决最优化问题，特别是针对一个具体的例子，即找到从左上角到右下角的最低通行费路径。" 动态规划是一种强大的算法，通常用于解决涉及多阶段决策的问题，它能有效地处理优化问题，如寻找最大值或最小值。在学习动态规划时，理解核心概念和方法至关重要，但更重要的是能够根据具体问题进行创造性地建模和求解。 在给定的例子中，问题是在一个N×N的网格中找到从左上角到右下角的最低通行费路径，每一步只能向下或向右。我们定义f(i, j)表示到达位置(i, j)的最低通行费。利用状态转移方程f(i, j) = min{f(i-1, j), f(i, j-1)} + g(i, j)，其中g(i, j)表示到达位置(i, j)本身的费用，可以逐步计算出整个路径的最低费用。初始条件是f(1, 1) = g(1, 1)，最终答案为f(n, n)。边界情况，如f(i, 1)和f(1, j)，需要特别处理。 动态规划与传统的搜索或数值计算算法不同，没有统一的数学公式和清晰的解题步骤。通过分析和讨论各种动态规划问题，我们可以逐渐掌握这一设计策略。 以斐波那契数列为例，递归方法在计算较大的n值时效率低下，因为存在大量的重复计算。例如，计算fib(6)时，会重复计算fib(4)和fib(5)，进一步导致更多的重复计算。为了解决这个问题，引入了记忆化搜索，将已经计算过的斐波那契数存储起来，避免重复计算。在记忆化搜索的实现中，我们创建了一个数组c[i]来记录fib(i)被调用的次数，这样在计算过程中可以显著提高效率。 动态规划是一种解决问题的策略，它要求我们定义好阶段、状态和状态转移方程，并通过递推或记忆化搜索等技术来求解。通过不断地实践和分析，我们可以逐步熟练掌握动态规划，从而解决更复杂的问题。